Zusammenfassung
Die Quantentheorie der Wellenfelder in ihrer üblichen Form ist unbefriedigend, weil siemeist zu Divergenzen führt, die die strenge mathematische Behandlung der betreffenden Probleme verhindern. Eine Theorie dieser Art kann also nur als eine ausgearbeitete korrespondenzmäßige Behandlung der gestellten Fragen angesehen werden. Trotz der Erfolge bei der Quantenelektrodynamik1 oder der Theorie des Mesons2 ist der bisherige Formalismus also sicher noch nicht sind in der Zwischenzeit Arbeiten anderer Autoren über den gleichen Gegenstand veröffentlicht worden, und es erscheint deshalb berechtigt, im folgenden eine zusammenfassende Darstellung dieses Problemkreises zu geben.
Die übliche Quantentheorie der Wellenfelder, bei der man von einer H ami1ton —Funktion in Abhängigkeit von irgendwelchen Feldgrößen ausgeht, führt im allgemeinen zu Divergenzen. Der vorliegende Aufsatz stellt einen zusammenfassenden Bericht über verschiedene Arbeiten dar, die durch Erweiterung des bisherigen Verfahrens den mathematischen Rahmen einer zukünftigen Theorie der Wellenfelder oder der Elementarteilchen festzulegen suchen. Dabei wird einerseits auf die Bedeutung einer unitären Matrix, der sogenannten Streumatrix, und einer mit ihr verknüpften hermiteschen Matrix hingewiesen; andererseits wird gezeigt, daß auch bei einer Erweiterung der bisherigen Wellengleichungen zu sehr allgemeinen Integro-Differentialgleichungen die Forderungen der Quantentheorie zu einem eindeutigen mathematischen Formalismus führen.
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References
In his contribution to the issue of the Annalen der Physik published in honor of the 70th birthday of Max Planck (paper No. 6, Group 8, pp. 301— 314 below), Heisenberg also mentions the Planck length 1p = = 4 x 10-33 cm, but considers it too small to be identified with to.
Some time later, there were indications, for a while, that the multiple production in nuclear collisions could be explained as a cascade process, but further experiments showed that there are definitely collisions where many particles are created in a single act.
As Heisenberg points out in paper No. 1, special cases of the S-matrix were previously used in nonrelativistic quantum mechanics, in particular in connection with the partial wave decompotion of amplitudes for scattering in a central potential. The S-matrix had first been used by J.A. Wheeler in more complicated many-channel situations in nuclear physics. [See Phys. Rev. 52, 1107 (1937)]. In a letter from Rome dated March 1943, Gian-Carlo Wick asks some questions about Heisenberg’s first two S-matrix papers, and he also informs him about the work of Gregory Breit on the S-matrix in Schrödinger theory [Phys. Rev. 58, 1068 (1940)], which was aimed mainly toward a description of resonances in terms of complex poles in the energy variable. Heisenberg was apparently unaware of these papers.
The general connection between S-matrix elements and various cross-section had also been studied extensively by C. Moller in Copenhagen, who corresponded with Heisenberg during and after the war [see K. Danske Vidensk. Selskab Mat.-Fys. Medd. 23, No. 1 (1945); 22, No. 19 (1946)].
Kramers and Wouthuysen had discovered these properties for nonrelativistic scattering ampli- tudes in about 1940, as remarked in a letter by Kramers to Heisenberg written in April 1944.
The actual quotation from Pauli’s letter is: “Ich persönlich halte die Idee der analytischen Fortsetzung der S-Matrix far einen vollständigen Fehlschlag.”
In the nonrelativistic limit of field theoretical scattering amplitudes, one generally finds that these crossed-channel singularities are related to branch cuts appearing in corresponding amplitudes obtained from Schrödinger theory with superpositions of Yukawa potentials: V(r) _,(da g(a) (e- a r/r). In an S-wave amplitude, the Yukawa potential gives rise to logarithmic branch points on the negative energy axis. With the special choice g(a)aö’(a-a), one obtaines an exponential potential of range a-t, and the logarithmic branch points become simple poles. Within the framework of field theory, we do not expect g(a) to be a S’-function.
W. Heisenberg: The present situation in the theory of elementary particles, in Two Lectures (Cambridge, University Press 1949), pp. 5–25; reprinted in Collected Works B,pp. 444–449
The actual remark is: “Deine Arbeiten über die S-Matrix habe ich mit großem Interesse gelesen, aber sie bleiben so lange nur ein Programm, als keine Methode angegeben wird, um die S-Matrix theoretisch zu bestimmen.”
For references, see for example the collection of papers on Quantum Electrodynamics (J. Schwinger, ed., Dover Publications, New York 1958).
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Heisenberg, W. (1989). Der mathematische Rahmen der Quantentheorie der Wellenfelder. In: Blum, W., Dürr, HP., Rechenberg, H. (eds) Original Scientific Papers / Wissenschaftliche Originalarbeiten. Gesammelte Werke / Collected Works, vol A / 2. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-70078-1_48
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