Alternierende Differentialformen

Zusammenfassung

In vielen mathematischen und physikalischen Anwendungen der Integrationstheorie genügt es nicht, Funktionen über den ganzen Raum oder über meßbare Teile des Raumes zu integrieren: Man sieht sich gezwungen, Integrale längs Wegen (Kurvenintegrale) oder längs Flächenstücken zu definieren. So muß etwa die Arbeit, die bei Bewegung in einem Kraftfeld geleistet wird, als „Liniensumme“ der Kraft, d.h. als ein gewisses Kurvenintegral über den durchlaufenen Weg, angesehen werden; ähnlich ist die durch eine gekrümmte Fläche hindurchströmende Elektrizitätsmenge durch ein Flächenintegral zu beschreiben, usf. Bei dem Versuch, diese physikalischen und ähnliche mathematische Fragestellungen in ein leicht zu handhabendes Begriffssystem zu bringen, gelangt man zur Definition des Begriffes der alternierenden (oder äuβeren) Differentialform: Die Objekte, die man über p-dimensionale Flächenstücke im ℝⁿ integriert, sind p-dimensionale Differentialformen und nicht etwa Funktionen. Die Vektoranalysis mit ihren zahlreichen Differentialoperatoren (grad ƒ, rot a, div a, Grad ƒ, Div a, Rot F) und Integralformeln ist eine kaum zweckmäßige, oft aber sehr unübersichtliche Umschreibung des Kalküls der äußeren Differentialformen.