Der unendlich ferne Punkt und der chordale Abstand

Zusammenfassung

Statt der bisher allein eingeführten endlichen Zahlenebene benutzen wir fernerhin die durch Hinzunahme des unendlich fernen Punktes „∞“ entstehende geschlossene Zahlenebene. Die Gründe für die Hinzunahme eines oder mehrerer unendlich ferner Punkte, die sog. Abschließung der Ebene, werden schon im übernächsten Paragraphen erörtert. Dagegen wird erst in IV, 3 begründet, weshalb wir nur einen unendlich fernen Punkt und nicht wie in der projektiven Geometrie eine ganze unendlich ferne Gerade von unendlich fernen Punkten den endlichen Punkten hinzufügen. Hier sei nur bemerkt, daß es bei vielen Funktionsklassen gelingt, aus dem Verhalten einer Funktion in einer Umgebung des einen unendlich fernen Punktes auf das Verhalten dieser Funktion in den übrigen Punkten zu schließen. Die Einführung des Begriffes „unendlich ferner Punkt“ ist ein wichtiger Schritt in der Entwicklung der Funktionentheorie, und unter sehr allgemeinen Voraussetzungen über die Beschaffenheit der Punktmengen, in denen Funktionentheorie getrieben werden soil (s. den Begriff der Riemannschen Fläche in Kapitel V), ist die Einfuhrüng des einen unendlich fernen Punktes die einzige Möglichkeit der Erweiterung der endlichen Ebene (s. V, 6).