Notiz über einen Satz der Galoisschen Theorie

Zusammenfassung

Durch den Hilbertsehen Irreduzibilitätssatz wird nicht nur eine wesentliche und tiefliegende Eigenschaft irreduzibler Polynome in mehreren Variablen aufgedeckt, sondern es werden durch ihn mehrere wichtige Probleme aufgeworfen, deren Erforschung als eine der vornehmsten Aufgaben der modernen Algebra und Zahlentheorie gelten darf. Insbesondere gehört hierher das Problem, die Beziehung des Begriffes der absoluten Irreduzibilität zum gewöhnlichen Irreduzibilitätsbegriff aufzuklären, eine Beziehung, die bereits in den Hi 1 b ert sehen Irreduzibilitätssatz hineinspielt, ohne jedoch, bei dem von Hilbert gewählten Beweisgang — und auch bei allen späteren Beweisen — klar zutage zu treten. Als einen Beitrag zur Untersuchung dieser Frage möchte ich nun im Folgenden einen Satz der Galoisschen Theorie beweisen, der bisher unbemerkt geblieben zu sein scheint, und in dem der wesentliche Unterschied zwischen der gewöhnlichen und der absoluten Irreduzibilität in helles Licht gerückt wird. Der Formulierung und dem Beweis dieses Satzes in § 2 schicke ich in § 1 einige allgemeinere Betrachtungen voraus über die Normierung von Koeffizienten bei Teilern von Polynomen mit Koeffizienten aus einem bestimmten Körper, die trotz ihres durchaus elementaren Charakters wohl jedesmal von Bedeutung sein können, wenn es sich um die Frage handelt, wie die Adjunktion von algebraischen Größen den Irreduzibilitätscharakter eines Polynoms beeinflußt.