Ein Kriterium für den positiv definiten Charakter von Fourierintegralen und die Darstellung solcher als Summe von Quadraten

Zusammenfassung

Gestattet eine für alle reellen Argumente reguläre Funktion β(x) eine beständig konvergente Entwicklung der Form

$$\beta (x + y) = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} $$

wo die gleichfalls für alle reellen x regulären Funktionen β _μ (x) durch konvergente Reihen der Form

$${\beta _\mu }(x)={x^\mu}(1+{\alpha _{\mu 1}}x + {\alpha _{\mu 2}}{x^2} + \ldots){\text{}}(\mu=0,1,2, \ldots )$$

in der Umgebung der Stelle x = 0 definiert sind, so läßt sich leicht zeigen, daß die Entwicklung nur eindeutig möglich ist. Es ist nämlich, wenn für n = 0 der Ausdruck $\mathop \sum \limits_{\mu = 0}^{n - 1}$ Null bedeutet:

$$\beta (x + y) - \sum\limits_{\mu = 0}^{n - 1} {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} = \frac{{{\beta _n}(x)}}{{{\lambda _n}}}{y^n}(1 + {\alpha _{n1}}y + \ldots ) + {x^{n + 1}}{y^{n + 1}}(\frac{1}{{{\lambda _{n + 1}}}} + \ldots )$$

$$\frac{{\beta (x + y) - \sum\limits_{\mu = 0}^{n - 1} {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} }}{{{y^n}}} = \frac{{{\beta _\mu }(x)}}{{{\lambda _\mu }}}(1 + {\alpha _{n1}}y + \ldots ) + {x^{n + 1}}y(\frac{1}{{{\lambda _n} + 1}} + \ldots )$$

also

$$\mathop {\lim }\limits_{y = 0} \frac{{\beta (x + y) - \sum\limits_{\mu = 0}^{n - 1} {\frac{{{\beta _\mu }(x){\beta _\mu }(y)}}{{{\lambda _\mu }}}} }}{{{y^n}}} = \frac{{{\beta _n}(x)}}{{{\lambda _n}}}$$