Pseudo-concavité et groupes arithmétiques

Résumé

Soient H _n = {Z∈M(n, C) ǀ^t Z = Z, Im Z > 0} le demi-plan, et Г _n = Sp(n,Z)/{ ± 1} le groupe modulaire de Siegel, de degré n. Le groupe discret Г _n opère proprement sur H _n . Si n= 1, on obtient le demi-plan de Poincaré et le groupe modulaire classique. On sait qu’en théorie des formes ou fonctions modulaires, les cas n = 1 et n≧2 présentent des différences importantes. Elles apparurent pour la première fois lorsque Koecher [6] montra que les conditions de régularité à l’infini, imposées par Siegel pour n≧2 en analogie avec le cas n = 1, sont vérifiées d’elles-mêmes. Dans le même ordre d’idées, le corps de toutes les fonctions méromorphes invariantes par Г _n est un corps de fonctions algébrique si (mais pas si n= 1). Cela a été rattaché plus tard à deux phénomènes de nature plus générale. D’une part, Baily [2] a montré que la compactification de Satake V _n de V _n = Hn/Г _n s’identifie à une variété projective et projectivement normale, dont la structure analytique prolonge la structure analytique quotient naturelle de V_n, et telle que V _n—V _n soit une sous-variété algébrique de codimension n. Les faits mentionnés plus haut trouvent alors leur explication dans des propriétés de prolongement de fonctions méromorphes, ou de sections holomorphes de fibrés analytiques, définies en dehors d’un sous- ensemble analytique de codimension è ≧ 2. D’autre part, Andreotti et Grauert [1] ont introduit une notion d’espace analytique pseudoconcave, montré qu’un tel espace a plusieurs propriétés importantes en commun avec les espaces analytiques compacts, et que Vn est pseudoconcave si n≧2.