Trigonometrische Interpolation

Zusammenfassung

In diesem Kapitel befassen wir uns mit der trigonometrischen Interpolation zur Approximation periodischer Funktionen. Wir zeigen die eindeutige Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe und beweisen, dass die schnelle Fourier-Transformation die Lösung in log-linearem Aufwand berechnet.

Übungsaufgaben

Aufgabe 18.1

(trigonometrische Interpolation) Gegeben seien die Stützstellen

$$ \begin{array}{c|ccccc} j &{} 0 &{} 1 &{} 2 &{} 3 &{} 4 \\ \hline x_{j} &{} 0 &{} \pi /2 &{} \pi &{} 3\pi /2 &{} 2\pi \\ y_{j} &{} 1 &{} 3 &{} 2 &{} -1 &{} 1\end{array} $$

• a) Berechnen Sie das trigonometrische Polynom

  $$ p(x) = \beta _0 + \beta _1 e^{ix} + \beta _2 e^{2ix} + \beta _3 e^{3ix}, $$

  welches die oben angegebenen Stützstellen interpoliert.

• b) Bestimmen Sie das äquivalente trigonometrische Polynom

  $$ q(x) = \frac{a_0}{2} + a_1 \cos x + b_1 \sin x + \frac{a_2}{2} \cos (2x). $$

Aufgabe 18.2

(Orthonormalsysteme) Zu $m\in \mathbb {N}$ sind die $2m+1$ Funktionen $g_k :[0, 2\pi ] \rightarrow \mathbb {R}$ gegeben durch $g_1(x) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}$ und

$$ g_{2k}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \cos (kx), \quad g_{2k+1}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \sin (kx),\quad k\in \{1,2,\ldots ,m\}. $$

Zeigen Sie, dass diese Funktionen ein Orthonormalsystem  in $L^2(0, 2\pi )$, dem Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen über $(0, 2\pi )$, bilden. Dies bedeutet, dass

$$ \langle g_k,g_\ell \rangle \mathrel {\mathrel {\mathop :}=}\int _0^{2\pi } g_k(x)g_\ell (x)\,\text {d}x = \delta _{k,\ell } $$

für alle $k, \ell \in \{1, 2, \ldots , 2m+1\}$ gilt.

Aufgabe 18.3

(Optimalität trigonometrischer Interpolation) Für $n\in \mathbb {N}^*$ bezeichne $p_n(x)$ ein trigonometrisches Polynom vom Grad $n-1$, das heißt, $p_n:[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {C}$ ist definiert durch

$$ p_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1} \beta _k e^{ik x}. $$

Außerdem seien die äquidistanten Knoten

$$ x_{j} = \frac{2\pi j}{n},\quad j\in \{0,\ldots , n-1\}, $$

und das trigonometrische Polynom vom Grad $m\le n-1$ gegeben

$$ q_m(x)=\sum _{k=0}^{m-1} \gamma _k e^{ik x}, \quad \gamma _1,\gamma _2,\ldots ,\gamma _{m-1}\in \mathbb {C}. $$

Zeigen Sie, dass die Fehlerfunktion

$$ e(q_m) = \sum _{j = 0}^{n-1} | p_n(x_{j}) - q_m(x_{j})|^2 $$

durch das Polynom

$$ p_m(x)=\sum _{k=0}^{m-1} \beta _k e^{ik x} $$

minimiert wird. Zeigen Sie also, dass stets $e(q_m) \ge e(p_m)$ ist. Mit anderen Worten, die Wahl $\gamma _k = \beta _k$ minimiert die quadratische Abweichung von $q_m(x)$ zu $p_n(x)$ in den Knoten $x_{j}$.