Fortführung der Gruppentheorie

Zusammenfassung

Wir beginnen auf ganz elementare Weise mit Gruppenaktionen. Prototyp einer solchen Aktion ist die Interpretation der Galois-Gruppe einer algebraischen Gleichung $f(x) = 0$ als Gruppe von Permutationen der zugehörigen Lösungen. Als Anwendung beweisen wir die nach L. Sylow benannten Sätze über endliche Gruppen. Diese machen Aussagen über die Existenz von Untergruppen, deren Ordnung eine Primpotenz ist. Sodann haben wir einige Grundlagen über Permutationsgruppen zusammengestellt und behandeln insbesondere auflösbare Gruppen. Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Kette von Untergruppen $G = {G_0} \supset {G_1} \supset \ldots \supset {G_n} = \{ 1\}$ gibt, so dass ${G_{i + 1}}$ jeweils ein Normalteiler in ${G_i}$ ist und die Faktoren ${G_i}/{G_{i + 1}}$ alle kommutativ sind. Wir zeigen unter anderem, dass die symmetrische Gruppe ${S_n}$ für $n \ge 5$ nicht auflösbar ist, woraus sich ergeben wird, dass die allgemeine Gleichung n-ten Grades für $n \ge 5$ nicht durch Radikale auflösbar ist.