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Zusammenfassung

4.1 Kurze Zusammenfassung

Im hier vorgestellten Werk analysiert Riemann auf konzeptionell neuartige Weise die mathematische Struktur des Raumes.

Durch Riemann bekommt der physikalische Raum erstens empirisch bestimmbare Eigenschaften und verliert zweitens seine Einzigartigkeit als mathematischer Raum. Hierzu führt Riemann zunächst den Begriff der mehrfach ausgedehnten Größe oder Mannigfaltigkeit ein. Eine Mannigfaltigkeit wird dadurch charakterisiert, dass sie sich in ihren genügend kleinen Teilen durch n Koordinaten vollständig und nichtredundant beschreiben lässt. n ist dann die Dimension derMannigfaltigkeit. Grundlegend ist, dass diese Mannigfaltigkeitsstruktur (in heutiger Terminologie nur die Topologie, also die qualitativen Lageverhältnisse festlegt, aber) noch keine Maßstruktur impliziert. Riemann erkennt also, dass die Möglichkeit, Längen und Winkel zu messen, eine zusätzliche Struktur erfordert. Diese zusätzliche Struktur ist (in gewissen natürlichen Grenzen) beliebig. Eingeschränkt werden kann sie einerseits durch Bedingungen der Einfachheit und andererseits durch empirische Überprüfung, wenn ihre Aufgabe die Beschreibung des tatsächlichen physikalischen Raumes ist. Riemann beschreibt die Maßstruktur dann durch einen sog. metrischen Tensor, welcher aus Gründen der Einfachheit quadratisch gewählt wird. Mit Hilfe dieses metrischen Tensors können dann Kurvenlängen und Abstände zwischen Punkte sowie Winkelgrößen bestimmt werden, also die üblichen metrischen Größen. Weil nun aber eine Mannigfaltigkeit auf verschiedene Weisen lokal durch Koordinaten beschrieben werden kann, ist es die zentrale Aufgabe der geometrischen Untersuchungen, solche Größen herauszuarbeiten, die nicht von der Wahl der Koordinaten abhängen.