Introduction

The sixth problem asked by Hilbert in the occasion of the International Congress of Mathematicians held in Paris in 1900 is concerned with the mathematical treatment of the axioms of Physics, by analogy with the axioms of Geometry. Precisely, it states as follows:

“Quant aux principes de la Mécanique, nous possédons déjà; au point de vue physique des recherches d’une haute portée; je citerai, par exemple, les écrits de MM. Mach [81], Hertz [64], Boltzmann [14] et Volkmann [107]. Il serait aussi trés désirable qu’un examen approfondi des principes de la Mécanique fût alors tenté par les mathématiciens. Ainsi le Livre de M. Boltzmann sur les Principes de la Mécanique nous incite à; établir et à; discuter au point de vue mathématique d’une maniére compléte et rigoureuse les méthodes basées sur l’idée de passage à; la limite, et qui de la conception atomique nous conduisent aux lois du mouvement des continua. Inversement on pourrait, au moyen de méthodes basées sur l’idée de passage à; la limite, chercher à; déduire les lois du mouvement des corps rigides d’un systéme d’axiomes reposant sur la notion d’états d’une matiére remplissant tout l’espace d’une maniére continue, variant d’une maniére continue et que l’on devra définir paramétriquement.

Quoi qu’il en soit, c’est la question de l’équivalence des divers systémes d’axiomes qui présentera toujours l’intéràt le plus grand quant aux principes.”

The problem, suggested by Boltzmann’s work on the principles of mechanics, is therefore to develop “mathematically the limiting processes […] which lead from the atomistic view to the laws of motion of continua”, namely to obtain a uniéd description of gas dynamics, including all levels of description. In other words, the challenging question is whether macroscopic concepts such as the viscosity or the nonlinearity can be understood microscopically.