Abstract
This work gives an exposition and a generalization of classical results due to M. Eichler [1] and G. Shimura [2], which give the expression of congruence-zeta-functions of some modular curves in terms of Hecke polynomials. The central point in these papers is the famous congruence relation which links the local factor of the Mellin transforms of eigenfunctions of Hecke operators with the characteristic polynomial of Frobenius.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
References
M. EICHLER: Quaternäre quadratische Formen und die Riemannsche Vermutung für die Kongruenzzetafunktion. Arch. Math. 5 (1954), 355–366.
G. SHIMURA: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Publ. of Math. Soc. of Jap. II, 1971.
H. JACQUET, R. P. LANGLANDS: Automorphic Forms on GL(2). Lect. Notes, 114 Springer.
R. GODEMENT: Lectures on Jacquet-Langlands theory, IAS, Princeton.
J-P. SERRE: Abelian ℓ-adic representations and elliptic curves. W. A. Benjamin, 1968.
A. BOREL: Opérateurs de Hecke et Fonctions Zeta. Séminaire Bourbaki (1965/66, 307–401).
JUN-ICHI IGUSA: Kronekerian model of fields of elliptic modular functions. Amer. J. of Math., 81(3), 1959.
И. М. ГЕЛЯФА↭Д, С. В. ФОДЕЗИЧЕСКИЕ: Геодезические потоки на многообра-зиях постоянной отризны YMH-7 (1952).
GELFAND, GRAEV, PIATETSKII-SHAPIRO: Representation theory and automorphic function. Saunders Math. Books, 1966.
И. И. ПЯТЕЦКИЙ-ШАПИРО, И. Р. ШАФАРЕБИЧ: Теория Галуа тран&qcендентных расширений и униформиэация. ИАН CCCP 30 (1966) 671–704.
И. И. ПЯТЕЦКИЙ-ШАПИРО: О редукции простому модулю полэй модулярных функций ИАН CCCP 32 (1968), 1264–1274.
И. И. ПЯТЕЦКТЙ-ШАПИРО: Индуциированныэ копбца и рэдукция полэй абэлэвых модулярных Функций ИАН CCCP 34 (1970) 532–546.
М. Э. НОВОДВОРСКИЙ, И. И. ПЯТЕЦКИЙ-ШАПИИО: Бесконечномерные абелевы многообразия и унитарные представления групп. Мат. сб. 77(1), 1968, 4–20.
SGA 4 exp. (17), (16), (12).
Y. IHARA: On Congruence Monodromy Problems, v.1,2, 1968.
И. И. ПЯТЕЦКИЙ-ШАПИИО: Бзаимоотношения мехду гипотезами Тэйта и Ходха для абелевых многообразий. Мат. сб. 85(4), 1971, 610–620.
Author information
Authors and Affiliations
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1973 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this paper
Cite this paper
Piateckii-Shapiro, I.I. (1973). Zeta-Functions of Modular Curves. In: Deligne, P., Kuijk, W. (eds) Modular Functions of One Variable II. Lecture Notes in Mathematics, vol 349. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-540-37855-6_5
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-37855-6_5
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-540-06558-6
Online ISBN: 978-3-540-37855-6
eBook Packages: Springer Book Archive