Einführung beliebiger Grundsysteme

Zusammenfassung

Neben dem kartesischen Grundsystem mit den Basisvektoren ${{\bf{g}}_{0k}} = {{\bf{g}}^{0k}} = {\mathop e\limits^ \to _k}$ führen wir jetzt ein beliebiges dreidimensionales, ortsunabhängiges Grundsystem mit den Basisvektoren g₁, g₂, g₃ ∊ ℜ³ ein. Die Vektoren g _i seien linear unabhängig, und sie bilden ein Rechtssystem. Die g _i sind im allgemeinen keine Einheitsvektoren. Wegen ihrer linearen Unabhängigkeit ist das Spatprodukt

$$\left. {\matrix{{[{{\bf{g}}_i},{{\bf{g}}_j},{{\bf{g}}_k}] = D \ne 0} \cr {[{{\bf{g}}_i},{{\bf{g}}_k},{{\bf{g}}_j}] = - D} \cr}} \right\}\matrix{{i,j,k} {{\rm{zykl}}.\ \ 1,2,3} \cr}$$

von Null verschieden. Um die Lage der g _i anzugeben, beschreiben wir die neuen Basisvektoren von einem kartesischen Koordinatensystem aus, dessen Koordinatenursprung mit dem des Grundsystems g _i zusammenfällt. Es gilt:

$$\matrix{{{{\bf{g}}_1} = {a_1}^{01}{{\bf{g}}_{01}} + {a_1}^{02}{{\bf{g}}_{02}} + {a_1}^{03}{{\bf{g}}_{03}},} \cr {{{\bf{g}}_2} = {a_2}^{01}{{\bf{g}}_{01}} + {a_2}^{02}{{\bf{g}}_{02}} + {a_2}^{03}{{\bf{g}}_{03}},} \cr {{{\bf{g}}_3} = {a_3}^{01}{{\bf{g}}_{01}} + {a_3}^{02}{{\bf{g}}_{02}} + {a_3}^{03}{{\bf{g}}_{03}}} \cr }$$

oder

$${{\bf{g}}_i} = {a_i}^{01}{{\bf{g}}_{01}} + {a_i}^{02}{{\bf{g}}_{02}} + {a_i}^{03}{{\bf{g}}_{03}}$$

((2.1))

und weiter abgekürzt

$${{\mathbf{g}}_{\mathbf{i}}} = {{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}}^{{\mathbf{0j}}}{{\mathbf{g}}_{{\mathbf{0j}}}}{\text{ mit }}{\mathbf{i}},{\mathbf{j}}{\text{ unabh}}.{\mathbf{1}},{\mathbf{2}},{\mathbf{3}}.{\text{ }}$$

((2.2))