Codes über ℤ₄ und über GF(4)

Zusammenfassung

Neben den linearen Codes sind auch binäre nicht-lineare Codes C von Bedeutung, also solche, für die aus x, y ∈ C nicht notwendig x + y ∈ C folgt. Solche Codes haben zwar den Nachteil, weniger Struktur zu besitzen, so dass die Bestimmung von d = d _min (C) und die Decodierung schwieriger sind. Von Vorteil ist jedoch, dass zu gegebener Länge n und Minimalabstand d nicht-lineare Codes bekannt sind, die mehr Codewörter als lineare Codes besitzen. Z.B. enthält im Falle n = 16 und d = 6 der beste binäre lineare Code 128 Elemente, der beste binäre nicht-lineare Code jedoch M = 256 Codewörter.¹⁶⁸ Historisch gesehen spielten die folgenden nicht-linearen Codes eine Rolle:

• Nordstrom-Robinson-Codes (1967) mit Parametern n = 16, M = 2⁸, d = 6, (s. 18.4!),

• Preparata-Codes (1968) mit n = 2^m+1, M = 2^n-2m-2, d = 6 für m ungerade, m ≥ 3, (s. 18.9!),

• Kerdock-Codes (1972) mit n = 2^m+1, M = 2^2m+2, d = 2^m-2^m-1/2 für m ungerade, m ≥ 3, (s. 18.6 !).

In diesem Paragraphen geben wir nur kurze Einführungen und verweisen bei den Beweisen meist auf die angegebene Literatur.