Kompaktheitskriterien

Zusammenfassung

Wie wir im letzten Kapitel gesehen haben, ist jede relativkompakte Menge in einem Banachraum beschränkt, und die Umkehrung gilt nur im endlichdimensionalen Raum ℝ^N. Umgekehrt bedeutet dies, dass in einem unendlichdimensionalen Raum einer abgeschlossenen und beschränkten Menge stets (mindestens) eine Zusatzeigenschaft fehlt, um kompakt zu sein. Symbolisch können wir dies im Schema

darstellen. Leider kann man diese Zusatzeigenschaft „?????“nicht universell (als eine „handliche“Eigenschaft) für alle Räume charakterisieren (wie Abgeschlossenheit oder Beschränktheit), sondern man muss sie individuell für jeden konkreten Raum neu finden.¹ Solche Kompaktheitskriterien wollen wir in diesem Kapitel für einige wichtige Räume studieren. Unter diesen Kompaktheitskriterien sind das von Arzelà-Ascoli (im Raum C[0,1]) und das von Kolmogorov-Riesz (im Raum L _p [0,1]) besonders wichtig und nützlich im Hinblick auf Anwendungen.