Abstract
In 1912, Furtwängler used class field theory to derive two important criteria about the first case of Fermat’s last theorem. As corollaries, he then gave new proofs of the theorems of Wieferich and Mirimanoff. In this way, the methods of class field theory entered into the game.
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Bibliography
1844 Eisenstein, F. G. Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen Zahlen. J. reine u. angew. Math., 27, 1844, 289–310. Reprinted in Mathematische Werke, vol. I, Chelsea Publ. Co., New York, 1975, 59–80.
1850 Eisenstein, F. G. Beweis der allgemeinen Reziprozitätsgesetz zwischen reellen und komplexen Zahlen. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1850. Reprinted in Mathematische Werke, vol. II, Chelsea Publ. Co., New York, 1975, 712–721.
1850 Kummer, E. E.* Allgemeine Reciprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1850. 154–165.
1852 Kummer, E. E. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. J. reine u. angew. Math., 44, 1852, 93–146.
1857 Kummer, E. E. Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung αλ = 1 gebildeten complexen Zahlen, für den Fall dass die Klassenzahl durch λ theilbar ist, nebst Anwendungen derselben auf einen weiteren Beweis des letztes Fermat’schen Lehrsatzes. Math. Abhandl. Akad. d. Wiss., Berlin, 1857, 41–74.
1858 Kummer, E. E. Über die allgemeinen Reciprocitätsgesetz der Potenzreste. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1858, 158–171.
1859 Kummer, E. E. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. J. reine u. angew. Math., 56, 1859, 270–279.
1859 Kummer, E. E. Über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Math. Abhandl. Akad. d. Wiss., Berlin, 1859, 19–159.
1870 Kummer, E. E. Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung αλ = 1 gebildeten complexen Zahlen und über den Zweiten Faktor der Klassenzahl. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1870, 855–880.
1887 Kummer, E. E. Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. J. reine u. angew. Math., 100, 1887, 10–50.
1897 Hilbert, D. Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresber. d. Deutschen Math. Verein., 4, 1897, 175–546. Also in Gesammelte Abhandlungen, vol. I, Springer-Verlag, Berlin, 1932. Reprinted by Chelsea Publ. Co., New York, 1965.
1898 Hilbert, D. Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper. Nachr. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, 1898, 370–379. Also in Acta Math., 26, 1902, 99–132. Reprinted in Gesammelte Abhandlungen vol. I, Chelsea Publ. Co., New York, 1965, 483–509.
1904 Furtwängler, P. Über die Reziprozitätsgesetze zwischen lten Potenzresten in algebraischen Zahlkörpern, wenn l eine ungerade Primzahl bedeutet. Math. Annalen, 58, 1904, 1–50.
1907 Furtwängler, P. Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers. Math. Annalen, 63, 1907, 1–37.
1909 Furtwängler, P. Die Reziprozitätsgesetze für Potenzreste mit Primzahlexponenten in algebraischen Zahlkörpern, I. Math. Annalen, 67, 1909, 1–31.
1910 Furtwängler, P. Untersuchungen über die Kreisteilungskörper und den letzten Fermat’schen Satz. Nachr. Akad. d. Wiss. Göttingen, 1910, 554–562.
1910 Hecke, E. Über nicht-reguläre Primzahlen und den Fermatschen Satz. Nachr. Akad. d. Wiss. Göttingen, 1910, 429–424.
1912 Furtwängler, P. Die Reziprozitätsgesetze fur Potenzreste mit Primzahlexponenten in algebraischen Zahlkörpern, II. Math. Annalen, 72, 1912, 346–386.
1912 Furtwängler, P. Letzter Fermatschen Satz und Eisensteins’ches Reziprozitätsgesetz. Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Wien., Abt. IIa, 121, 1912, 589–592.
1914 Vandiver, H. S. A note on Fermat’s last theorem. Trans. Amer. Math. Soc., 15, 1914, 202–204.
1919 Vandiver, H. S. A property of cyclotomic integers and its relation to Fermat’s last theorem. Annals of Math., 21, 1919, 73–80.
1922 Fueter, R. Kummer’s Kriterien zum letzten Theorem von Fermat. Math. Annalen, 85, 1922, 11–20.
Takagi, T. Über das Reciprocitätsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper. J. Coll. of Science, Imp. Univ. Tokyo, 44, art. 5, 1922.
1922 Takagi, T. On the law of reciprocity in cyclotomic corpus. Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 4, 1922, 173–182.
†1923 Čebotarev, N. G. Ob odnoi teoreme Hilberta (On a theorem of Hilbert). Visti Ukrain. Akad. Nauk, 1923, 3–7.
1924 Pollaczek, F. Über die irregulären Kreiskörper der l-ten und l 2-ten Einheitswurzeln. Math. Zelts., 21, 1924, 1–37.
1925 Artin, E. and Hasse, H. Über den zweiten Ergänzungssatz sum Reziprozitätsgesetz der l-ten Potenzreste in Körper k ζ der l-ten Einheitswurzeln und in Oberkörpern von k ζ . J. reine u. angew. Math., 154, 1925, 143–148. Reprinted in Hasse’s Mathematische Abhandlungen, vol. I, W. de Gruyter, Berlin, 1975, 247–252.
1925 Hasse, H. Über das allgemeine Reziprozitätsgesetz der l-ten Potenzreste in Körper k ζ der l-ten Einheitswurzeln und in Oberkörpern von k ζ . J. reine u. angew. Math., 154, 1925, 96–109. Reprinted in Mathematische Abhandlungen, vol. I, W. de Gruyter, Berlin, 1975, 233–246.
1925 Vandiver, H. S. A property of cyclotomic integers and its relation to Fermat’s last theorem (2nd paper). Annals of Math., 26, 1925, 217–232.
1926 Hasse, H. Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlköper (2 volumes) Part I: Jahresber. d. Deutschen Math. Verein. 35, 1926, 1–55. Part Ia: Jahresber. d. Deutschen Math. Verein. 36, 1927, 233–311. Part II: Jahresber. d. Deutschen Math. Verein. Supplement, 1930, 204 pages. Reprinted by Physica-Verlag, Würzburg, 1965.
1927 Artin, E. Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes. Hamburg Abhandl., 5, 1927, 353–363. Reprinted in Collected Papers, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965, 131–141.
1927 Hasse, H. Über das Reziprozitätsgesetz der m-ten Potenzreste. J. reine u. angew. Math., 158, 1927, 228–259. Reprinted in Mathematische Abhandlungen, vol. I, W. de Gruyter, Berlin, 1975, 294–325.
1927 Landau, E. Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. III, S. Hirzel, Leipzig, 1927. Reprinted by Chelsea Publ. Co., New York, 1969.
1927 Takagi, T. Zur Theorie des Kreiskörpers. J. reine u. angew. Math., 157, 1927, 230–238.
1928 Morishima, T. Über die Fermatsche Vermutung. Proc. Imp. Acad. Japan, 4, 1928, 590–592.
1929 Vandiver, H. S. Some theorems concerning properly irregular cyclotomic fields. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 15, 1929, 202–207.
1929 Vandiver, H. S. A theorem of Kummer’s concerning the second factor of the class number of a cyclotomic field. Bull. Amer. Math. Soc., 35, 1929, 333–335.
1930 McDonnell, J. New criteria associated with Fermat’s last theorem. Bull. Amer. Math. Soc., 36, 1930, 553–558.
1930 Stafford, E. and Vandiver, H. S. Determination of some properly irregular cyclotomic fields. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 16, 1930, 139–150.
1930 Vandiver, H. S. On the second factor of the class number of a cyclotomic field. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 16, 1930, 743–749.
1932 Herbrand, J. Sur les classes des corps circulaires. J. Math. Pures et Appl., 11, 1932, 417–441.
1932 Lehmer, D.H. A note on Fermat’s last theorem. Bull. Amer. Math. Soc., 38, 1932, 723–724.
1932 Morishima, T. Über die Fermatsche Vermutung, VII. Proc. Imp. Acad. Japan, 8, 1932, 63–66.
1932 Morishima, T. Über die Fermatsche Vermutung, VIII. Proc. Imp. Acad. of Japan, 8, 1932, 67–69.
1932 Scholz, A. Über die Beziehung der Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper zueinander. J. reine u. angew. Math. 166, 1932, 201–203.
1933 Morishima, T. Über die Einheiten und Idealklassen des Galoisschen Zahlkörpers und die Theorie des Kreiskörper de l ν-ten Einheitswurzeln. Jpn. J. Math., 10, 1933, 83–126.
1933 Moriya, M. Über die Fermatsche Vermutung. J. reine u. angew. Math., 169, 1933, 92–97.
1934 Grün, O. Zur Fermatsche Vermutung. J. reine u. angew. Math., 170, 1934, 231–234.
1934 Morishima, T. Über die Fermatsche Vermutung, XI. Jpn. J. Math., 11, 1934, 241–252.
1934 Vandiver, H. S. Fermat’s last theorem and the second factor in the cyclotomic class number. Bull. Amer. Math. Soc., 40, 1934, 118–126.
1935 Holzer, L. Takagische Klassenkörpertheorie, Hassesche Reziprozitätsformel und Fermatsche Vermutung, J. reine u. angew. Math., 173, 1935, 114–124.
1935 Morishima, T. Über die Fermatsche Vermutung, XII. Proc. Imp. Acad. Japan, 11, 1935, 307–309.
1938 Vandiver, H. S. On criteria concerning singular integers in cyclotomic fields. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 24, 1938, 330–333.
1939 Vandiver, H. S. On the composition of the group of ideal classes in a properly irregular cyclotomic field. Monatshefte f. Math. u. Phy. 48, 1939, 369–380.
1939 Vandiver, H. S. On basis systems for groups of ideal classes in a properly irregular cyclotomic field. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 25, 1939, 586–591.
1941 Vandiver, H. S. On improperly irregular cyclotomic fields. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 27, 1941, 77–82.
Inkeri, K. Untersuchungen über die Fermatsche Vermutung. Annales Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 1946, No. 33, 60 pages.
Inkeri, K. Some extensions of criteria concerning singular integers in cyclotomic fields. Annales Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 1948, No. 49, 15 pages.
Inkeri, K. A. On the second case of Fermat’s last theorem. Ann. Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 1949, No. 60, 32 pages.
1954 Dénes, P. Über irreguläre Kreiskörper. Publ. Math. Debrecen, 3, 1954, 17–23.
1954 Dénes, P. Über Grundeinheitssysteme der irregulären Kreiskörper von besonderen Kongruenzeigenschaften. Publ. Math. Debrecen, 3, 1954, 195–204.
Inkeri, K. Über die Klassenzahl des Kreiskörpers der lten Einheitswurzeln. Annales Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 1955, No. 199, 12 pages.
1956 Dénes, P. Über den zweiten Faktor der Klassenzahl und den Irregularitätsgrad der irregulären Kreiskörper. Publ. Math. Debrecen, 4, 1956, 163–170.
1958 Leopoldt, H. W. Zur Struktur der l-Klassengruppe galoisscher Zahlkörper. J. reine u. angew. Math., 199, 1958, 165–174.
1964 Kubota, T. and Leopoldt, H. W. Eine p-adische Theorie der Zetawerte, I. J. reine u. angew. Math., 214/5, 1964, 328–339.
1965 Eichler, M. Eine Bemerkung zur Fermatschen Vermutung. Acta. Arith., 11, 1965, 129–131. (Errata) p. 261.
1966 Hasse, H. Vandiver’s congruence for the relative class number of the pth. cyclotomic field. J. Math. Anal. and Applic, 15, 1966, 87–90.
1967 Brumer, A. On the units of algebraic number fields. Mathematika, 14, 1967, 121–124.
1968/9 Bertrandias, F. Sur la Structure du p-Groupe des Classes du Corps Cyclotomique ℚp (d’après Leopoldt). Bordeaux Sém. Th. Nombers (J. Lesca), 1968/9, No. 7, 10 pages.
1968 Carlitz, L. A congruence for the second factor of the class number of a cyclotomic field. Acta Arith., 14, 1968, 27–34. Corrigendum: Acta Arith. 16, 1969, 437.
1968 Slavutskii, I. Š. The simplest proof of Vandiver’s theorem. Acta Arithm., 15, 1968, 117–118.
Kaplan, P. Démonstration des lois de réciprocité quadratique et biquadratique. J. Fac. Sci. Tokyo Univ., 1969, 115–145.
1971 Gandhi, J. M. On Fermat’s last theorem. J. reine u. angew. Math., 25, 1971, 49–55.
1972 Brückner, H. Zum Beweis des ersten Falles der Fermatschen Vermutung fur pseudo-reguläre Primzahlen l (Bemerkungen zur vorstehenden Arbeit von L. Skula). J. reine u. angew. Math., 253, 1972, 15–18.
1972 Iwasawa, K. Lectures on p-adic L-Functions, Annals of Math. Studies, Princeton Univ. Press, Princeton, 1972.
1972 Skula, L. Eine Bemerkung zu dem ersten Fall der Fermatschen Vermutung. J. reine u. angew. Math., 253, 1972, 1–14.
1973 Metsänkylä, T. A class number congruence for cyclotomic fields and their subfields. Acta Arith., 23, 1973, 107–116.
1974 Hayashi, H. On a simple proof of Eisenstein’s reciprocity law. Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., Ser. A, 28, 1974, 93–99.
1975 Brückner, H. Zum Ersten Fall der Fermatschen Vermutung. J. reine u. angew Math., 274/5, 1975, 21–26.
1976 Ribet, K. A modular construction of unramified p-extensions of ℚ(μ p ). Invent. Math., 34, 1976, 151–162.
1977 Schinzel, A. Abelian binomials, power residues and exponential congruences. Acta Arith., 32, 1977, 245–274.
Washington, L. C. Units of irregular cyclotomic fields, To appear.
Washington, L. C. A note on p-adic L-functions. J. Number Theory (to appear).
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Ribenboim, P. (1979). The Power of Class Field Theory. In: 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9342-9_9
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