Une nouvelle interprétation de la formule des traces de Selberg

Abstrait

La formule des traces de Selberg, pour une surface de Riemann compacte, à courbure constante négative, est présentée habituellement comme une relation portant sur la transformée de Fourier des distributions liées aux longueurs des géodésiques périodiques, et aux valeurs propres du laplacien. De manière plus précise, soit X une telle surface de genre g ≥ 2, munie d’une métrique riemannienne, avec une courbure constante normalisée par K= −1. On note $\mathcal{P}$ ’ensemble des géodésiques périodiques orientées primitives sur X, et τ(p) la longueur d’une telle géodésique p. On note aussi Δ_X l’opérateur de Laplace-Beltrami sur X, et la suite des valeurs propres de −Δ_X est représentée sous la forme

$$ 0 = \lambda _0< \lambda _1\leqslant \lambda _2\leqslant\cdots\leqslant \lambda _n\leqslant \lambda _{n + 1}\leqslant\cdots . $$

Pour tout n ≥ 0, on choisit une des racines carrées ρ _n de λ _n − ¹₄ . Sous forme symbolique, on peut écrire comrne suit la formule de Selberg

$$ \begin{array}{*{20}c} {(1)\sum\limits_{n = 0}^\infty{\cos \tau \rho _n=- \tfrac{1} {2}(g - 1)} \frac{{\cosh \tau /2}} {{\sinh ^2 \tau /2}}}\\ { + \sum\limits_{p \in \mathcal{P}} {\sum\limits_{m \ne 0} {\frac{{\tau (p)}} {{4\sinh (|m|\tau (p)/2)}}} \delta (\tau- m\tau (p));} }\\ \end{array} $$

les deux membres de cette formule contiennent des séries qui convergent au sens des distributions.

A Alexander Grothendieck, pour son 60e anniversaire