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References
R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, mehrere Auflagen seit 1887. Vgl. insbesondere Satz 126 und die daran anschließende Bemer.-kung 130.
Die Aufstellung der Ordnungszahlenreihe (in der naiven Mengenlehre) habe ich bereits in meiner Arbeit “Zur Einführung der transfiniten Ordnungszahlen” (Acta litt. ac. sc. reg. univ. Hung. Franc. Jos. Szeged1 (1923), 4., Seite 199–208) durchgeführt. (Ein mit dem meinen nahe verwandter Ordnungszahlenbegriff war, wie ich nachträglich aus mündlichen Mitteilungen erfuhr, Zermelo 1916 bekannt gewesen. Indessen konnte damals der Fundamentalsatz, wonach es zu jeder wohlgeordneten Menge eine ähnliche Ordnungszahl gibt — vgl. A. 5. — nicht streng bewiesen werden, da das Ersetzungsaxiom unbekannt war.) Auch hatte ich dort die Notwendigkeit des Ersetzungsaxioms festgestellt.
Eine Skizze des Beweises habe ich schon in meiner Arbeit 2) “Zur Einführung der transfiniten Ordnungszahlen” (Acta litt. ac. sc. reg. univ. Hung. Franc. Jos. Szeged1, (1923), 4., Seite 199–208) gegeben, allerdings für die Ordnungszahlenreihe; indessen kann er in jeder wohlgeordneten Menge fast wörtlich gleich geführt werden.
Das Axiomensystem von Zermelo (Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Math. Ann.65 (1908)) wurde von Fraenkel präzisiert und abgeschlossen (Unters. über die Grundl. d. Mengenl., Math. Zeitschr.22 (1925)); Axiomatische Theorie der geordneten Mengen, Journal f. Math.155 (1926)), Beim Zitieren und bei der Bezeichnungsweise soll für uns die letztere Arbeit von Fraenkel maßgebend sein.
J. v. Neumann, Eine Axiomatisierung der Mengenlehre; Journal f. Math.154 (1925).
J. v. Neumann, Die Axiomatisierung der Mengenlehre, erscheint demnächst in der Math. Zeitschrift und enthält die Herleitung der Hauptergebnisse der allgemeinen Mengenlehre aus dem genannten Axiomensystem.
Der Teil I kann von denen, die sich nur für die Resultate von II, III] in der naiven Mengenlehre interessieren, überschlagen werden; ebenso die Fußnoten der Teile II, III.
Vgl. Fußnote 7). Der Teil I kann von denen, die sich nur für die Resultate von II, III in der naiven Mengenlehre interessieren, überschlagen werden; ebenso die Fußnoten der Teile II, III.
Das Ersetzungsaxion wurde zuerst von Fraenkel formuliert (Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, Math. Ann.86 (1922)), in sein Axiomensystem nahm er es aber zunächst nicht auf.
Es würde genügen, die Existenz einer Menge zu postulieren, die alle diese Elemente (und vielleicht noch andere) enthält; die Existenz einer Menge mit genau diesen Elementen folgt dann aus den übrigen Axiomen. (Vgl. 12 § 2, Fraenkel, Untersuchungen...).
Definition s. auf S. 132–133 der zitierten Fraenkelschen Arbeit.
Es würde genügen, dies allein für die Relation=zu verlangen. Fraenkel verlangt neuerdings nur ε und ε.
Eine solche Menge braucht natürlich nicht immer zu existieren. Wenn aberM (x; E (x)) (die Menge allerx, für dieE (x) gilt) existiert, so folgt ihr Vorhanden sein aus dem Ersetzungsaxiom; und nur in diesem Falle werden wir sie im folgenden benutzen
Existiert nach Fraenkel (Axiomatische Theorie...), da es aus der dort (16) definienten Menge μ x (in Fraenkels Bezeichnung μ m ) leicht zu erhalten ist:\(A(x;M) = M - \mu _x - \left\{ x \right\}.\)
Eine “geordnete Menge” besteht formal eigentlich aus zwei Dingen, einer Menge und einer Ordnung von ihr. Es ist aber leicht, diezwei durch eines zu ersetzen: man kann z. B. die Ordnung allein angeben, die Menge ist wie man leicht zeigt, deren Vereinigungsmenge. (Wenn nämlich die Ordnung nach Fraenkel definiert wird.) Man zeigt leicht, daßA (x; M) eine Funktion vonx und M ist: ist es doch eine recht einfach in Abhängigkeit vonx und M gebildete Aussonderungsmenge von M. Ferner gibt es eine Funktionf (M), derart, daßf (M) ≠0 demOZ-Charaktez von M gleichbedeutend ist. Auch dies ergibt sich aus dem Aussonderungsaxiom mit der bei Fraenkel sonst üblichen Methode.
Der Begriff stammt von Hessenberg.
Diese Menge existiert: sie entsteht durch AussonderungP f(x)≠x .
Ihre Existenz folgt aus dem Ersetzungs-Axiom.
Daß die Menge N existiert, zeigt man so: Wir gehen wieder von der Funktiong (x, P) in Fußnote 18) aus. Für jedesx ε M gibt es keine zuA (x; M) ähnlicheOZ oder genau eine, also keinP mitg (x, P)≠0 oder genau eines. Jedenfalls bilden dieseP eine Menge, und diese ist nachF. gleichh (x). Diejenigenx ε M, für die keine zuA (x; M) ähnlicheOZ existiert, sind durchh (x)=0 gekennzeichnet, also ist N=Mh(x)=0.
Vgl. Fußnote 1) R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, mehrere Auflagen seit 1887. Vgl. insbesondere Satz 126 und die daran anschließende Bemer-kung 130.
Vgl. Fußnote 4). Das Axiomensystem von Zermelo (Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Math. Ann.65 (1908))
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Neumann, J.v. Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre. Math. Ann. 99, 373–391 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01459102
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01459102