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References
Vgl. dazu Math. Annalen105 (1931), S. 86–132, „Untersuchungen über ein Problem, das drei positiv definite quadratische Formen mit Streckenkomplexen in Beziehung setzt”, weiterhin kurz als „QFS” zitiert. Um die vorliegende Arbeit von QFS unabhängig lesbar zu machen, wurden die erforderlichen Erläuterungen über Zuordnungen von quadratischen Formen und Streckenkomplexen in § 2 in gekürzter Form zusammengestellt.
Wir wollen voraussetzen daß wenigstens für einen Punkt der rechten λ-Halbebene der Realteil vonA positiv definit ist. Hinreichend dafür ist, daß wenigstens eine der drei FormenL, R, D positiv definit ist.
L repräsentiert die Induktivitäten,R die Ohmschen Widerstände,D die reziproken Kapazitäten von geschlossenen Stromkreisen einer Schaltung.
„Darstellung” in dieser Arbeit ist identisch mit „Darstellung im weiteren Sinne” in QFS.
Eine solche darstellbare Matrix von Funktionen repräsentiert physikalisch die Frequenzcharakteristiken eines „2q-Pols”.
Elektrotechnisch: Zweipol (Wechselstromwiderstand).
Genaues Zitat s. S. 385, Anm. 26b).
Elektrotechnisch: Vierpol.
Elektrotechnisch: Symmetrischer Vierpol.
„Über die Variabeln eines passiven Vierpols”, Sitzungsber. der Preußischen Akademie der Wiss., Dez. 1927.
Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mechanik, Okt. 1930, „Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik”; die in Buchform als Forschungsheft des V.D.I. mit Unterstützung des Elektrotechnischen Vereins herausgegebene Arbeit „Siebschaltungen”, sowie eine in „Physics” erscheinende Arbeit „New theory and design of wave filters”.
Elektrotechnisch: Ein Zweipol oder symmetrischer Vierpol von numerisch oder graphisch gegebener Frequenzabhängigkeit soll konstruiert werden.
Math. Annalen77, S. 7, „Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bedingt werden”. Ich bin Herrn G. Herglotz für den Hinweis auf diese Arbeit zu besonderem Dank verpflichtet.
S. Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereinigung 1929, S. 63, „Über eine Klasse von Funktionen, die die Stieltjesschen Kettenbrüche als Sonderfall enthält”.
Daß eine „Fundamentaldeterminante”A, nur Nullstellen in der linken Halbebene hat, wurde von Routh, „Die Dynamik der Systeme starrer Körper”, Bd. II, Kap. VII, Teubner 1898, bewiesen. Vgl. auch Sitzungsber. d. Berl. Math. Ges.,27, S. 25, „Ein Satz über zwei zusammenhängende Hurwitzsche Polynome”. Daß jede komplexe Nullstelle einer Fundamentaldeterminante negativ reellen Teil besitzt, besagt physikalisch die einleuchtende Tatsache, daß in einem schwingungsfähigen System mit Energieverzehrung jede freie Schwingung abklingen muß. Der Realteil einer positiven Funktion (eines Wechselstromwiderstandes) ist für rein imaginäre λ=iω proportional zum mittleren Energieverbrauch des Systems, wenn es sinusförmige erzwungene Schwingungen von der Kreisfrequenz ω ausführt.
Ein Querstrich bezeichnet den konjugiert komplexen Wert.
Vgl. hierzu auch den Abschnitt II in QFS.
Etwas abweichend von der üblichen Definition eines „Baumes”.
Für die Zwecke dieser Arbeit genügt es, diese quadratischen Formen als Quadratsummen vorauszusetzen. Allgemeinere Zuordnungen von quadratischen Formen zu Streckenkomplexen sind in QFS behandelt.
Dieser Begriff „Darstellung in einem Streckenkomplex” deckt sich nur teilweise mit der „Darstellung im engeren Sinne” von QFS.
Dieser Satz findet sich in anderer Form bei G. Kirchhoff, Pogg. Annalen 72 (1847).
Der Beweis kann durch Umformung der Determinanten vonC (5) geführt werden. Ein natürlicherer Beweis des Hilfssatzes 5 ergibt sich durch Einführung von neuen Variabeln, die den Knotenpunkten zugeordnet sind und den elektrischen Potentialen entsprechen, so wie diex′ den elektrischen Strömen entsprechen.
Von den in QFS benutzten Begriffen „Reihen” und „Parallelverkürzung” und „einfacher Zweipol” bilden die hier eingeführten gleichnamigen Begriffe einen Spezialfall, da „Verknüpfungselemente” in dieser Arbeit nicht in Betracht gezogen werden.
Um den folgenden Schluß zu machen, genügt schon die Voraussetzung, daß der Restteil nur in einem Intervall der imaginären Achse rein imaginär ist.
Dieses ist der komplizierteste Fall. Ist z. B.a 0 odera 4, oder sind beide gleich 0, so ist der im folgenden Beweis vorgenommene Reduktionsprozeß in vereinfachter Form anwendbar. Im Falla 0=0 wird aus der Ellipse Fig. 2 eine Parabel. Enthält der Nenner zwei konjugiert imaginäre Wurzeln, so hat man zuerst gemäß dem Beweis von Hilfssatz 7 einen Partialbruchanteil der Form (8) abzuspalten und gelangt sofort zu einer positiven Funktion der Form eines Gliedes der rechten Seite von (15).
Bedingung (11) enthält unter anderem die notwendige Bedingung, daßalle Koeffizienten von (7) gleiches Zeichen haben.
R. M. Foster, The Bell Syst. Techn. Journ., Okt. 1924, und Cauer, Archiv für Elektrotechnik 1926.
„Positiv” ist in diesem Fall gleichwertig mit α≧0, β≧0, γ≧0, δ≧0, αδ−βγ≠0.
Otto Brune, „Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency” Journal of Mathematics and Physics,10, No. 3 (1931).
Sie wurde abgeleitet aus einem Resultat von G. Herglotz in den Leipziger Berichten 1911 unter Anwendung einer linear gebrochenen Transformation und unter Berücksichtigung des Umstandes, daß es sich um Funktionen handelt, die für reelle λ reellwertig sind.
Über äquivalente Darstellungen siehe loc. cit. Archiv f. Elektrotechn. 1926 und QFS.
In den Anwendungen interessieren hauptsächlich rein imaginäre λ, d. h. reelle Frequenzen des Wechselstroms.
Solche Aufgaben treten häufig in der Technik der Wechselstromschaltungen auf.
Die folgenden Ausführungen über das Interpolationsproblem der symmetrischen Siebschaltungen beschränken sich auf ein kurzes Referat, da ausführlichere Veröffentlichungen darüber an anderer Stelle schon erschienen sind oder noch erscheinen. Siehe die Literaturangaben Anm. 11)Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mechanik, Okt. 1930, „Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik”.
dessen Enden innere Punkte eines der gegebenen Intervalle sind.
Veröffentlicht in der in Anm. 11)Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mechanik, Okt. 1930, „Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik” an zweiter Stelle genannten Arbeit.
Diese Interpolationsprobleme lassen sich natürlich auch auf positive Matrizen ausdehnen und sind auch in dieser Verallgemeinerung von praktisch großer Bedeutung.
Die Ausführungen dieses Paragraphen haben wie die des § 6 nur referierenden Charakter, da beabsichtigt ist, auf diese für die elektrotechnischen Anwendungen besonders wichtigen Interpolationsprobleme in einer besonderen Arbeit ausführlich zurückzukommen. Die elektrotechnischen Aufgaben, Nachbildungsschaltungen, Phasen- und Dämpfungsausgleichsschaltungen, Entzerrungsschaltungen zu entwerfen, führen z. B. auf Interpolationsprobleme 2.
Siehe l. c. 13)Math. Annalen77, S. 7, „Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bedingt werden”.
Das äquivalente elektrotechnische Problem lautet: Einfachste Zweipolschaltungen aus Kapazitäten und Ohmschen Widerständen zu finden, deren Wechselstromwiderstand für eine endliche Anzahl gegebener Frequenzen vorgeschriebene Werte annimmt.
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Cauer, W. Über Funktionen mit positivem Realteil. Math. Ann. 106, 369–394 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455892
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