1. GİRİŞ

Küp uydu standardının 1999 yılında tanıtılmasından sonra bu uyduların kullanımı için araştırmaların hızla arttığı görülmektedir [1]. Küçük uydular alt sistemlerin ayrı ayrı testlerinde de kullanıldığından, hem düşük maliyete küçük görevler daha kısa sürede uygulanabilmekte hem de çalıştığından ve nasıl sonuç verdiğinden emin olunan sistemler geliştirilebilmektedir. Daha büyük uyduların gönderilmesi esnasında yanında daha çok düşük yörüngelere bırakılan küçük uyduların standardının tanımlanması fırlatma açısından da önem taşımaktadır. Bu standart birçok birim uydu kullanılarak hacim ve kütle artırma olanağı da sağladığı için tasarımda da kolaylıklar getirmektedir. Bir birimi ise 10x10x11 cm boyutlarındadır.

Yönelim belirleme ve kontrol sistemi ayrı olarak test edilebileceği gibi uydular diğer alt sistemlerini test etmek için gönderildiğinde de yönelim kontrolüne ihtiyaç duymaktadırlar. Özellikle bilimsel faydalı yük enstrümanı, yüksek doğrulukta yönelime ihtiyaç duyabilir. Burada, sensörlerin ve kontrol ekipmanının doğruluklarının yüksek olmasının etkisi yanında, kullanılan yöntemler de sonucu büyük ölçüde etkilemektedir. Küçük uydular, görev isterleriyle de doğru orantılı olarak daha büyük görevler için tamamen bir test aracı olarak kullanılabilirler.

Kullanılan denklemlerdeki tekillik sorununu ortadan kaldırmak için kuvaterniyonlar kullanılmıştır [2]. Kuvaterniyonlar dönüşüm matrisinin elemanlarını elde ederken oluşan tekillik sorununu, trigonometrik fonksiyonları cebirsel ilişkilerle ifade ederek ortadan kaldırırlar. Ayrıca bu işlemleri yaparak Euler açılarına göre daha hızlı sonuç verirler. Tüm bu nedenlerden dolayı kuvaterniyonlar birçok çalışmada ana işlem elemanı olarak kullanılmışlardır [3-5].

Unscented Kalman Filtresi (UKF) çözümü birçok kaynak tarafından kullanılmıştır. Referans [3] ’te önerilen yöntem anlık veriler yerine geçmiş bilgilerden de yararlanarak belli bir trendi takip etmektedir. Bu çalışmada, 3 eksenli manyetometre ve güneş sensörü verileri kullanılarak, uydu yönelimi belirlenmesi amaçlanmıştır. Güneşin görülmediği zamanda verilerin hatalı olduğunun anlaşılması için kullanılan metodlar, anlık olarak ne kadar doğru sonuç verildiğine dair veriler elde eder. Bu veriler, Kalman Filtresi vb. yöntem kullanılması durumunda hangi anda bu geçişlerin olacağını da belirler.

Belirli koordinat sistemleri tanımlanmış ve dönüşüm matrisi çıkarılarak tek bir referans sistemi üzerinde işlem yapılması amaçlanmıştır. Bu referans sisteminde ölçüm yapan sensörler ve koordinat dönüşümüyle elde edilen modeller sonucunda iki farklı vektör elde edilerek, minimum gereklilik sağlanmıştır. Bu iki vektörü kullanarak, farklı çözüm yöntemleriyle sonuçlar elde edilmiş, optimum yöntem bulunmaya çalışılmıştır.

2. Küçük uydularda yönelim belirleme

Referans sistemi birbirine eşit ve dik üç birim vektörü ifade eder, ancak birçok şekilde kategorize edilebilir. Katı cisim hareketi Newton’un hareket kanunlarının geçerli olduğu Eylemsiz Dünya Merkezli (EDM) - Earth Centered Inertial (ECI) eksen takımında ifade edilebilir. Bu sistemde Dünya Güneş’in etrafında uzun bir sürede (yörünge boyunca periyod süresi) dönüşünü tamamladığından eylemsiz kabul edilir. Orijini Dünya’nın merkezinde ve z ekseni, Dünya’nın dönme ekseniyle çakışık olarak kuzeye doğrudur [6]. x ekseni, ekliptik düzlem ile ekvator düzleminin kesişmesi sonucu ortaya çıkan doğrudur ve ilkbahar ekinoksu ile Güneş’e bakacak şekilde yönelmiştir. y ekseni ise sağ el kuralını tamamlar.

Hesaplanan modellerin ve sensör verilerinin ait olduğu iki farklı referans sistemi daha tanımlanabilir. Sensörler uydunun gövdesinde ölçüm yapacağından bu tanıma Gövde eksen takımı denirse, orijin uydunun kütle merkezinde tanımlanır. Uydunun yöneliminin değişmesi ile dönen bu eksen takımı ile yörüngesine sabitlenmiş bir eksen takımı arasındaki fark, uydunun yönelimini verir. Manyetik alan ve Güneş’e yönelme vektör modelleri de Yörünge eksen takımında tanımlanırsa, daha önce de bahsedildiği gibi bu iki eksen takımı arasında bir transformasyon matrisi elde edilir ve anlık olarak bu geçiş yapılabilir. Yörünge eksen takımında eksen takımı yine uydu ile birlikte hareket eder, fakat bu sefer x ekseni, uydunun yer değiştirme yönünü; z ekseni ise Dünya’nın merkezini hedef alır. y ekseni de sağ el kuralını tamamlayarak oluşturulur.

Referans sistemleri ve aralarındaki dönüşüm matrisinin tanımlanmasıyla, farklı bakış açılarına göre uydunun yönelimini de ifade etmek mümkün hale gelmiştir. Tanımlanan A - dönüşüm matrisinin kullanılan yöntem için ortogonal olması gerekmektedir. [7].

$${{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}}^{T}}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}=1$$
((1))
$$\det (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A})=1$$
((2))

Euler açılarına göre tanımlanmış dönüşüm matrisi A, bunlardan üçü birbirinden bağımsız olmak üzere dokuz parametreye sahiptir. Burada tekillik sorunuyla karşı karşıya kalınması kaçınılmazdır.

Euler açıları görsel olarak kolayca ifade edilebilir olmasına karşın, tekillik sonuçlar açısından büyük problemler yaratmaktadır. Dört elemandan oluşan kuvaterniyonlar, kinematik denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar barındırmazlar ve başarılı dönüşümlerle uyumlu sonuçlar elde edebilirler, bu da hesaplanma esnasında hız kazandırır. Euler teoremine göre bir cismin dönüşü tek bir eksen etrafında tek bir rotasyon olarak tanımlanabilir. Kuvaterniyonların dört elemanından bir elemanı skaler, diğerleri ise bir vektörü ifade eder. Vektör, dönme eksenidir ve bu eksen etrafındaki dönme açısı da skalerin büyüklüğü kadardır. Karmaşık sayı olarak tanımlanan kuvaterniyonların matematiksel ifadesi (3) numaralı denklemde görülebilir [8].

$$q=a+ib+jc+kd$$
((3))

Hamilton i, j, k hiper imajineri sayıları tanımlamıştır. Kuvaterniyonlar veya diğer ismiyle Euler simetrik parametreleri ise a, b, c, d vektör ve skalerden oluşan dört elemanlı ifadedir. Tanımın anlaşılabilmesi için bilgi sahibi olunması daha muhtemel olan sıkça kullanılan bir ifade olan x = a+ib bir imajineri bir tane de gerçek elemandan oluşan toplamda iki elemanlı bir karmaşık sayıdır.

Şekil 1.
figure 1

Dünya’nın manyetik alanı ve güneş vektörüne göre iki vektörlü yöntem yapısı.

Full size image

Referans vektörlerini bulmak için yörünge parametreleri gereklidir. Radyo-teknik ölçümlerle elde edilebilecek x, y, z,ẋ,ẏ,\(\dot{z}\) ile bu parametreler bulunur. Şekil 1’de görülen yapı iki vektörlü algoritmayı elde etmede kullanılır. Sırasıyla, yörünge parametreleri belirlenip, tahmin edilir. Ardından yörünge veya ataletsel referans sistemindeki ifadeler/modeller bulunur. Son olarak gövde eksen takımında bulunan birim vektörlerle beraber uydunun yönelimi belirlenebilir [10]. Bu çalışmada kullanılan metodlar iki vektör üzerinde uygulanmasına rağmen bu sayı çoğaltılabilmektedir.

3. Yönelim belirleme metodlari

1965 yılında Grace Wahba tarafından önerilen problemin çözümü ile yönelim belirlenebilmektedir [9]. Burada amaç tanımlanan kayıp fonksiyonunu minimum yapacak ortogonal A matrisini bulmaktır. Bu matrisi bulmak demek referans eksenine göre yönelim açılarını da bulmak demektir. Çünkü kuvaterniyonlar, Euler açıları ve transformasyon matrisleri birbiri cinsinden ifade edilebilirler. Gövde eksen takımındaki birim vektörler (bi), yörünge eksen takımındaki birim vektörler (ri), negatif olmayan yük (ai) harfleri ile temsil edilirse, kayıp fonksiyonu (L) yazılabilir.

$$L(A)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{a}_{i}}}{{\left| {{b}_{i}}-A{{r}_{i}} \right|}^{2}}$$
((4))
$${{\lambda }_{0}}\equiv \sum{{{a}_{i}}}$$
((5))
$$B\equiv \sum{{{a}_{i}}{{b}_{i}}{{r}_{i}}^{T}}$$
((6))
$$L(A)={{\lambda }_{0}}-tr(A{{B}^{T}})$$
((7))

\({{\lambda }_{0}}\equiv \sum{{{a}_{\tau }}{{\lambda }_{0}}}\) yani varyansın tersinin kareleri toplamı ile A ve BT matrislerinin çarpımının diyagonelleri toplamı (trace fonksiyonu) arasındaki fark kayıp fonksiyonunu verir. Sonucunda açıkça görülmektedir ki kaybı minimumda tutmak için (7) numaralı denklemdeki ikinci terimi de maksimum yapmak gerekir. Bunu sağlamak için SVD, q, QUEST, ESOQ, FOAM gibi birçok yöntem kullanılabilir. Bu çalışmada ise öncelikli olarak SVD methodu, q methodu ve q’dan türetilen QUEST methodu iki vektör kullanılarak uygulanmıştır.

(6) numaralı denklemde belirtilen B matrisi tekil değer ayrışması (SVD) ile ortogonal iki farklı matris cinsinden ifade edilebilir (U, V). MATLAB programında (U,S,V) = svd(X) fonksiyonu kullanılarak kolay bir şekilde bu matrisler oluşturulmuş, bunların tekil değerleri de sıralı olarak (8) numaralı denklem ile elde edilerek optimum transformasyon (A) matrisine ulaşılmıştır [11].

$$ B=U\sum{{{V}^{T}}=udiag\left[ \sum{_{11}\,}\sum{_{22}\,\sum{_{33}\,}} \right]}\,{{V}^{T}}$$
((8))
$$ {{\sum }_{11}}\ge {{\sum }_{22}}\ge {{\sum }_{33}}\ge 0 $$
((9))

Kayıp fonksiyonu ve transformasyon matrisi ile uydunun bu yöntemle bulunmuş yönelimi ortaya çıkar.

Fakat çözümün ne kadar doğru sonuç verdiğini gözlemlemek, gerçek bir uydu görevinde mümkün olmayacaktır. Simülasyon ortamında atanan gerçek değerler ile bulunan değerler karşılaştırılarak mutlak hatalar bulunabilir. Markley ve Mortari [4] açı hataları vektörü kovaryansı (P) hesabı için bir öneride bulunmuştur. Bunun sonucunu simülasyon verilerine göre bulunan mutlak hata ile karşılaştırma olanağı olduğundan, hangi saniyeler için bu hatalarda yükselme olduğu çıktısı alınabilir ve birbirleri ile tutarlılığı test edilebilir. SVD metodunda kullanılan tekil değerler s1, s2, s3 ve elde edilen hata kovaryans matrisi P, aşağıda verilmiştir.

$${{s}_{1}}=\sum{_{11}}$$
((10))
$${{s}_{2}}=\sum{_{22}}$$
((11))
$${{s}_{3}}=\det (U)\,\,\det (V)\sum{_{33}}$$
((12))
$$P=Udiag\left[ {{({{s}_{2}}+{{s}_{3}})}^{-1}}{{({{s}_{3}}+{{s}_{1}})}^{-1}}{{({{s}_{1}}+{{s}_{2}})}^{-1}} \right]\,{{U}^{T}}$$
((13))

Vektör gözleminin yapılamaması gibi bir durum olursa, P hata fonksiyonu sonsuza gider. İki vektörlü algoritmada güneş sensörünün kullanıldığı durumda; Güneş’in görülmediği zaman aralıklarında (eclipse) veya vektörlerin birbirine paralel olduğu durumlarda da bu hata sonsuza gidecektir.

MATLAB programında manyetik alan ve güneş vektörünün eldesi yapıldıktan sonra, SVD Metodu ayrı bir dosyada bu işlemlerin sonuçlarını çağırarak kendi işlemini devam ettirir. Sensör verilerini simüle etmek için oluşturulan modeller temel alınmış, üzerine bozuntu ekleyerek, gövde eksen takımında ifade edilmiştir. Böylece yörünge ekseninden ve gövde ekseninden alınan ikişer vektör verisi vardır. Gerçek değerler yörünge ilerletmesi yapılarak elde edildiğinden bunlara karşılık gelen kuvaterniyonlar da kolayca dönüştürülebilirler. Yörünge bilgileri bir birimlik düşük yörünge küp uydusuna aittir [12, 13]. Bu bilgiler hem uydunun yörünge ilerletmesinde hem de birim vektörlerin bulunmasında kullanılmıştır.

Tüm adımlarda kuvaterniyonlar kullanılmıştır, fakat sonuçları akılda daha iyi canlandırabilmek için son adımda Euler açılarına dönüşüm yapılarak, o şekilde hatalar bulunmuştur. Mutlak hata ve anlık kovaryans verilerinin birbiriyle orantılı olarak değişimi Şekil 2 ve 3’te görülebilir.

Şekil 2.
figure 2

SVD metodu mutlak hata - manyetik alan ve güneş’e yönelme vektörü

Full size image
Şekil 3.
figure 3

SVD metodu anlık kovaryans – manyetik alan ve güneş’e yönelme vektörü.

Full size image

Belirlenen uydunun bir yörünge periyodundaki açı hataları incelenmiştir. Güneş algılayıcısı, Güneş’in görülmediği zaman aralıklarında, (0,0,0) değerini vereceğinden ikinci bir vektör elde edilemez ve bu aralıkta yüksek bir hata beklenir. Bu beklentiyi karşılayacak grafikler hem mutlak hata için hem de kovaryans için verilmiştir. Anlık kovaryans grafiğinde hatalı aralıkta değerler sonsuza gider, bu nedenle uygun bir değer seçilerek burada kestirim yapılmıştır. Uydunun Güneş’i görmediği zaman aralığı (eclipse) 2100 ve 4200 saniyeler arası olarak açıkça görülmektedir. SVD metodundan uyduya her an bu hata değerleri gönderilebilir ve burada olduğu gibi yüksek hatayla karşılaştığında başka bir yönteme geçmesi gibi bir komut verebilir, SVD metodunun önemli bir sonucu da budur. Diğer bölgelerdeki hatalar incelenirse, ne kadar doğru sonuçlar verdiği de ortaya çıkmaktadır. Kayıp fonksiyonunun normalleştirilmesiyle elde edilen grafik için Şekil.4 incelenirse sıfıra çok yakın bir değer aldığı görülebilir. Böylece SVD metoduyla amaçlanan sonuç gerçeklenmiştir. Güneş’in görülmediği zaman aralıklarında bu değer yine sonsuza gitmektedir.

Şekil 4.
figure 4

SVD metodu kayıp fonksiyonun zamanla değişimi.

Full size image

q metodu, Wahba problemini yönelim kuvaterniyonları yani birim normaller cinsinden kuadratik (ikinci dereceden) bir formda ifade eder. Paul Davenport tarafından öne sürülen bu yöntemde özdeğer ve özvektörler yardımıyla kuvaterniyonlar elde edilir [14]. En büyük özdeğere bağlı özvektör optimum kuvaterniyon matrisini bulur, bu şekilde Euler açılarına dönüşüm sağlanarak mutlak hata bulunabilir.

Birim kuvaterniyon olarak A matrisi düzenlenebilir. Burada kuvaterniyonların ikinci dereceden homojen olarak ifade edildiği göz önüne alınırsa aşağıdaki denklemler yazılabilir. Burada, tanımlarından dolayı kuvaterniyonların (q) kareleri toplamı bire eşittir.

$$q = \left[ \begin{array}{l} q\\ {q_4} \end{array} \right]$$
((14))
$$A(q) = ({q_4}^2{\left| {{q_v}} \right|^2}){\rm{I}} + 2{q_v}{q_v}^T - 2{q_4}[{q_v}{\rm{x}}]$$
((15))
$$tr(A{B^T}) = {q^T}Kq$$
((16))

Burada tanımlanan K değeri simetrik ‘izsiz’ (traceless) bir matristir. İçinde bulundurduğu S matrisi ise 3x3 boyutunda model ve sensör verilerinden oluşturulan B matrisinin transpozuyla toplanmasıyla elde edilir. Yine B matrisi değişimiyle elde edilen z harfiyle tanımlanan 3 birimlik vektör ilerde kuvaterniyonları elde edeceğimiz K matrisini oluştururlar.

$$K \equiv \left[ \begin{array}{l} S - Itr(B)\,\,\,\,\,\,\,\,z\\ {z^T}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,tr(B) \end{array} \right]$$
((17))
$$S \equiv B + B^T$$
((18))
$$z \equiv \left\{ \begin{array}{l} {B_{23}} - {B_{32}}\\ {B_{31}} - {B_{13}}\\ {B_{12}} - {B_{21}} \end{array} \right\} = \sum\limits_i {{a_i}{b_i}} {\rm{x}}\,{{\rm{r}}_{\rm{i}}}$$
((19))
$$K{q_{opt}} \equiv {\lambda _{{\rm{maksimum}}}}{q_{opt}}$$
((20))

Denklemlerden de açıkça kanıtlanabileceği gibi optimum kuvaterniyon K matrisinin en büyük özdeğerine göre normalleştirilmiş özvektörüdür. Çözüm yukarıdaki gibi ifade edilebilir. Özdeğer problemi için MATLAB kendi içinde kolay ve hızlı bir pakete sahiptir, bu kullanılarak sonuçlar elde edilmiştir. Fakat maksimum özdeğer bulunurken çakışma olması durumunda yani iki değerin birbirine eşit olması durumunda doğru sonuç elde edilemez. Markley’e göre bu q metodunun bir hatası olarak algılanmamalıdır, buradan verilerin yönelim bulmaya uygun olmadığı sonucu çıkarılabilir. SVD metodunda da Güneş görülmediği durumda elde edilen sonsuz hata gibi bir sonuç beklenmektedir. Bu yöntem birçok çalışmada da kullanılmıştır [15].

Şekil 5.
figure 5

q Metodu mutlak hata - manyetik alan ve güneş’e yönelme vektörü.

Full size image

q metodunda özdeğer ve özvektörler hesaplanırken nümerik teknikler de kullanılabilir. Bunun yanında işlemleri hızlandırmak için bazı değerleri hesaplamak yerine sabit bir değer atayarak da belli yöntemler yönelimin belirlenmesinde kullanılabilir. QUEST (Kuvaterniyon Kestirici) yöntemi de bunlardan bir tanesidir. Newton-Raphson yöntemi kullanılarak Gibbs Vektörü elde edilir ve kuvaterniyonun tanımından gelen eşitlik ile denklem sistemi çözülerek sonuç elde edilebilir, fakat tanımlamalardan dolayı tekillik sorunlarıyla karşılaşılmaktadır. Bunu yok etmek için de yine belli yöntemler ortaya konmuştur [16]. SVD metodu diğer yöntemler gibi Wahba problemini çözmeyi amaçlar, ama kuvaterniyonların yanında doğrudan Euler açılarıyla da çözüm elde edebilir. Tanımlanan diğer yöntemlerle sadece kuvaterniyonları kullanılabilmektedir.

QUEST yönteminde belli varsayımlar yapılarak, özdeğer ve özvektörlerin hesaplama kısmı kısaltılarak, yaklaşık bir denklemin çözümüyle Gibbs vektörünün (g) eldesi sağlanabilir. Kuvaterniyonların tanımı gereği gelen denklemin de eklenmesiyle oluşturulan denklem sistemi nümerik olarak çözdürülür. q metodunu tanımlarken kullanılan K matrisi elemanları kullanılarak Gibbs vektörüyle beraber aşağıdaki denklemler yazılabilir.

figure a
$$(S-\sigma I)\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{q}+z{{q}_{4}}={{\lambda }_{\text{maksimum}}}\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{q}$$
((22))

İkinci sıradaki denklem, skaler kuvaterniyona (q4 ) bölünürse ve λ maksimum değeri ‘bir’ olarak atanırsa, yeni bir denklem ortaya çıkar. Kayıp fonksiyonu, normalde ‘sıfır’a yaklaşırken burada yapılan kabul ile ‘bir’ değerine yaklaşmış olur. Denklem 23’te ,

$$(S-\sigma I-I)\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{g}+z=0$$
((23))

kullanılan parametreler q metoduyla aynı olmakla birlikte, σ değeri trace(B)‘yi ifade eder. Burada ‘S’ matrisi yine 3x3’lük tamamen sensör ve model verilerine dayalı ‘B’ matrisinden oluşmaktadır.

Şekil 6.
figure 6

QUEST metodu mutlak hata - manyetik alan ve güneş’e yönelme vektörü

Full size image

Denklemlere bakılarak, QUEST çözümü sonuçlarının daha hatalı olması beklenir. Gibbs parametrelerinin tanımı gereği 1800’lik bir açıda kötü sonuç verdikleri bilindiğinden, yukarıdaki grafikteki sıçramalar beklenilen sonuçlardır [7]. Gerçek değerler ±180 derece olduğunda, QUEST yönteminden bulunan değerler sonsuza gider. Aşağıdaki tabloda tüm yöntemlerin ortalama olarak karşılaştırılması yapılmıştır. QUEST’in özel durumu için sıçramalar göz ardı edilerek hata hesaplanırsa, 1.1270 derecelik bir hata bulunur. Algoritmanın koşturulduğu bilgisayarın hızına bağlı olarak tüm yöntemlerin hız karşılaştırılması değişmektedir. Hatta aynı bilgisayar için bile bu değerler değişebilmektedir, uyduda kullanılacak bilgisayarın hızı da burada devreye girmektedir. Fakat bulunan sonuçlara göre, yöntem hızları arasındaki fark çok küçüktür.

Tablo 1. Yöntem sonuçları.
Full size table

Tablo.1’de görüldüğü gibi SVD metodu hem doğrudan Euler değerleriyle hem de kuvaterniyonlar kullanılarak elde edilebilmektedir, diğer yöntemlerde sadece kuvaterniyonlar kullanılmıştır. MATLAB programında var olan süre hesaplaması sayesinde, yöntemlerin hız karşılaştırılması kolayca yapılabilmiştir. Aralarındaki farkın küçük olması neticesinde kullanılacak yönteme karar verilirken, daha doğru sonuç veren algoritmanın seçimi daha cazip hale gelmiştir. Üç eksendeki hatanın pozitif değerlerinin birbiriyle toplanması ve ortalamasının alınmasıyla hatalar hesaplanmıştır. Burada dikkat edilecek husus, Güneş görülmeyen zamanlarda çok büyük hatalar elde edildiğinden, bu kısımları çıkararak hataları karşılaştırmak, daha doğru karar vermemizi sağlar. Tabloda ‘Ortalama Hata (Derece- Güneşli)’ olarak belirtilen sütun tam da bu sonuçları vermektedir.

4. Sonuç

Çalışmada Güneş’e yönelme vektörü ile Dünya’nın manyetik alan vektörlerinin elde edilmesi için sensör ve model verileri kullanılmıştır. Bu sensörler küçük uydularda sıkça kullanıldığından, bu konuda birçok çalışmaya rastlamak mümkün olmuştur. Fakat günümüz tarihine doğru gelirsek, yöntemlerin seçim kriterleri teknoloji ile doğru orantılı olarak değişim göstermektedir. Çalışmanın sonunda grafiklerin karşılaştırılmasının yanında, tablodaki değerler de hem süre farkları için hem de hata değerleri için net bir sonuç ortaya koymaktadır. Hatanın sonsuza gittiği durumda farklı bir yönteme geçme ihtiyacı, hem o bölgedeki sonuçların verimsizliğinden çıkarım yapılarak, hem de çoğu uzay görevinde filtrelerin kullanım sıklığına bakılarak bu geçişin gerekliliğine karar verilebilir.

Elde edilen değerlerin listelenmesiyle, kuvaterniyonların kullanıldığı SVD metodunun en doğru sonucu verdiği gözleniyor. Buradaki diğer tartışma konusu şüphesiz, farklı yönteme geçiş olmadan bu yöntemin sürekli kullanılabilmesidir. Güneş’e bağlı olmayan, doğruluğu yüksek sensör tercihi bunu sağlayebilmektedir. Yöntemin tanımından dolayı kullanılan vektörlerin arttırılması da bu bağımlılığı göz ardı eder ve tüm bölgeler için doğru bir sonuç elde edilebilir.

5. Teşekkür

Bu çalışma; Von Karman Enstitüsü’nün yürütmekte olduğu QB-50 görevinde; İstanbul Teknik Üniversitesi, Uzay Sistemleri Tasarım ve Test Laboratuvarı (ITU/USTTL) ile Hava Harp Okulu, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Enstitüsü (HHO/HUTEN)‘nün proje sahibi olduğu BeEagleSat uydu projesinin yönelim belirleme başlığı altındaki araştırmanın ürünü olarak ortaya çıkmıştır.