| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О свойствах и погрешности параболического и гиперболического 2-го порядка возмущений симметричной гиперболической системы 1-го порядка А. А. Злотникab, Б. Н. Четверушкинb a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9800e 
Реферативные базы данных:
    § 1. ВведениеИзучаются задачи Коши для $n$-мерной симметричной линейной гиперболической системы уравнений 1-го порядка с переменными коэффициентами и ее сингулярных возмущений – сильно параболической и гиперболической 2-го порядка систем уравнений с малым параметром $\tau>0$ при вторых производных по $x$ и $t$. Возмущения со вторыми производными по $x$ имеют дивергентный вид и содержат матрицы с переменными коэффициентами. Такие возмущения могут быть полезны в том числе при построении численных методов решения гиперболических систем 1-го порядка, и подобное уже реализовано и много лет используется на практике для квазилинейной системы уравнений газовой динамики (см. [1]–[3]). Параболическое возмущение является вариантом хорошо известного метода искусственной вязкости (см., например, [4]). Гиперболическое возмущение в разных постановках также изучалось в литературе, в основном для исходного гиперболического уравнения, а не системы, 1-го порядка, но включая квазилинейный случай, см. в том числе [5]–[11]. В настоящей работе сначала в § 2 даются вспомогательные результаты о слабых и сильных решениях системы 1-го порядка. Хотя таким системам уделено много внимания в литературе (см. в том числе [4], [12]–[14]), приводимые результаты несколько усиливают и дополняют известные в отношении условий на свободный член $\mathbf f$ и коэффициенты. Это достигается надлежащим комбинированием различных известных подходов. В § 3 выводятся также свойства и в том числе равномерные по $\tau$ оценки слабых решений параболической и гиперболической систем 2-го порядка. При этом для второй из них накладывается одно структурное условие преобладания составной матрицы ее старших коэффициентов над составной матрицей старших коэффициентов системы 1-го порядка известного в литературе типа. Параграф 4 посвящен доказательству на основе результатов § 2 и § 3 оценок разностей $\mathbf r_\tau$ решений исходной системы и систем с возмущениями, в том числе в норме $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$, при надлежащих условиях на начальные данные $\mathbf w_0$, свободный член $\mathbf f$ и коэффициенты систем. Они включают оценки порядка $O(\tau^{\alpha/2})$ при $\mathbf w_0$ из пространств Соболева $H^\alpha(\mathbb{R}^n)$ для $\alpha=1,2$ и из пространств Никольского $H_2^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ (см. [15]) для $0<\alpha<2$, $\alpha\neq 1$. При $\alpha=1/2$ допускаются $\mathbf w_0\in \mathrm{BV}(\mathbb{R}^n)\cap L^\infty(\mathbb{R}^n)$, где $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^n)$ – пространство функций ограниченной вариации на $\mathbb{R}^n$, что охватывает важный для приложений широкий класс разрывных функций $\mathbf w_0$. Для гиперболической системы 2-го порядка для выполнения этих оценок с $\alpha<2$ существенно использование усреднения (например, по Стеклову) с шагом $\tau$ для $\mathbf w_0$. На $\mathbf f$ накладываются соответствующие условия гладкости порядка $\alpha$ по $x$, а в случае гиперболического 2-го порядка возмущения – и $\alpha/2$ по $t$, в смысле принадлежности пространствам Соболева или Никольского, построенным на основе анизотропного пространства Лебега $L^{2,1}(\mathbb{R}^n\times (0,T))$. При этом для гиперболического 2-го порядка возмущения достаточно задавать нулевое начальное значение производной решения по $t$. В § 5 из предыдущих результатов выводятся оценки производных любого порядка по $x$ как для решений всех рассматриваемых систем, так и для $\mathbf r_\tau$ порядка $O(\tau^{\alpha/2})$, $0<\alpha\leqslant 2$. Для наглядности предполагается, что коэффициенты систем не зависят от $x$. В оценках прослежена зависимость от $T$. Указано на оценки $\mathbf r_\tau$ в равномерной норме. Заключительный § 6 посвящен приложению результатов к линеаризованной на постоянном решении системе уравнений газовой динамики 1-го порядка и ее возмущениям – линеаризованным параболической и гиперболической 2-го порядка квазигазодинамическим системам уравнений с постоянными коэффициентами (см. [16], [17]). Это делается единообразно для обеих систем, причем предварительно выводятся надлежащие свойства вязких слагаемых (со вторыми производными по $x$) этих систем. Кратко результаты настоящей работы представлены в [18]. Отметим, что в литературе активно изучалось и гиперболическое 2-го порядка возмущение параболических задач, включая оценки разности их решений в [19]–[22]. § 2. Обозначения. Симметричная гиперболическая система уравнений 1-го порядка и ее свойстваВведем гильбертовы пространства Лебега $L^2(\mathbb{R}^n)=H^0(\mathbb{R}^n)$ и Соболева $H^l(\mathbb{R}^n)$, $l=1,2$ (все пространства считаем вещественными), со скалярными произведениями
$$
\begin{equation*}
(v,w)_{L^2(\mathbb{R}^n)}=\int_{\mathbb{R}^n}vw\,dx, \quad (v,w)_{H^l(\mathbb{R}^n)}=\sum_{0\leqslant k\leqslant l}\int_{\mathbb{R}^n}\nabla^kv\cdot\nabla^kw\,dx, \qquad n\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть для краткости в доказательствах $\|\cdot\|_{\mathbb{R}^n}=\|\cdot\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}$. Здесь и ниже $\nabla=(\partial_1,\dots,\partial_n)$, а $\nabla^2=\{\partial_i\partial_j\}_{i,j=1}^n$ – матрица вторых производных по $x$, и знак $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов или матриц (если не указано иное). Пусть $\Pi_T:=\mathbb{R}^n\times (0,T)$ – слой. Будем использовать пространство Соболева $H^1(\Pi_T)$. Обозначим через $L^{2,q}(\Pi_T)$ и $W_{2,q}^{l,0}(\Pi_T)$, $W_{2,q}^{l,1}(\Pi_T)$ с $1\leqslant q\leqslant\infty$, $l=1,2$, анизотропные пространства Лебега и Соболева с нормами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|v\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}=\bigl\|\|v(x,t)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\bigr\|_{L^q(0,T)}, \\ \|v\|_{W_{2,q}^{1,0}(\Pi_T)}=\|\{v,\nabla v\}\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} \equiv\|v\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}+\|\nabla v\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}, \\ \|v\|_{W_{2,q}^{2,0}(\Pi_T)} =\|\{v,\nabla v,\nabla^2v\}\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}, \\ \|v\|_{W_{2,q}^{l,1}(\Pi_T)}=\|v\|_{W_{2,q}^{l,0}(\Pi_T)} +\|\partial_t v\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $V_2(\Pi_T)$ – пространство функций $v\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$ с $\nabla v \in L^2(\Pi_T)$ (см. [23], [24]), а $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ – пространство непрерывных функций $v$: $[0,T]\to L^2(\mathbb{R}^n)$ с нормой $\|v\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}=\max_{0\leqslant t\leqslant T}\|v(\cdot,t)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}$. Введем произведения
$$
\begin{equation*}
(\mathbf v,\mathbf w)_{\mathbb{R}^n}=\int_{\mathbb{R}^n}\mathbf v\cdot\mathbf w\,dx, \qquad (\mathbf v,\mathbf w)_{\Pi_T}=\int_{\Pi_T}\mathbf v\cdot\mathbf w\,dx\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
для вектор-функций $\mathbf v$, $\mathbf w$ таких, что $\mathbf v\cdot\mathbf w\in L^1(\mathbb{R}^n)$ или $L^1(\Pi_T)$ соответственно. Ниже все векторы и вектор-функции считаем столбцами, а операторы $\nabla^l$, $\partial_t^l$, $l=1,2$, применяются к вектор- и матрицам-функциям поэлементно. Если не указано противное, то лебеговы нормы вектор-функций $\mathbf v$, $\nabla\mathbf v$ и квадратных матриц-функций $A$ вводятся как нормы в этих пространствах от евклидовых норм $|\mathbf v|$, $(|\partial_1\mathbf v|^2+\dots+|\partial_n\mathbf v|^2)^{1/2}$ и спектральной нормы $\|A\|$. Далее, лебеговы нормы $\nabla^2\mathbf v$ и $\nabla A$, $\nabla^2 A$ понимаются как суммы норм соответствующих частных производных $\mathbf v$ и $A$. Для составных прямоугольных матриц-функций и их производных суммируются соответствующие нормы составляющих квадратных матриц. Введем задачу Коши для симметричной гиперболической системы 1-го порядка
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\mathbf w:=\partial_t\mathbf w+B_i\partial_i\mathbf w+C\mathbf w=\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf w|_{t=0}=\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь $\mathbf w(x,t),\mathbf f(x,t)$: $\Pi_T\to\mathbb{R}^m$, $\mathbf w_0(x)$: $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ – искомая и заданные вектор-функции, $B_i(x,t)=B_i^T(x,t)$, $i=1,\dots,n$, $C(x,t)$ – коэффициенты-матрицы-функции порядка $m$. Здесь и ниже по повторяющимся индексам $i$, $j$ (и только по ним) предполагается суммирование от 1 до $n$, а $\delta^{(ij)}$ – символ Кронекера. Пусть выполнены условия
$$
\begin{equation}
\mathbf B,\operatorname{div}\mathbf B, C\in L^\infty(\Pi_T), \qquad \mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T), \qquad \mathbf w_0\in L^2(\mathbb{R}^n),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\mathbf B=(B_1,\dots,B_n)$ – составная матрица старших коэффициентов размеров $m\times mn$ и $\operatorname{div}\mathbf B:=\partial_iB_i$. Здесь и ниже принадлежность матриц- и вектор-функций какому-либо пространству означает принадлежность всех их элементов этому пространству. Для упрощения изложения условия на коэффициенты и их производные формулируются в основном в терминах пространств $L^\infty(\Pi_T)$, а не $L^{p,q}(\Pi_T)$. Слабым решением задачи Коши (2.1) назовем функцию $\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
(\mathbf w,\mathcal{H}^*\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}=\ell(\mathbf w_0,\mathbf f;\boldsymbol\varphi):=(\mathbf w_0,\boldsymbol\varphi_0)_{\mathbb{R}^n} +(\mathbf f,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \quad \forall\,\boldsymbol\varphi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T), \quad \boldsymbol\varphi|_{t=T}=0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь и ниже $\mathcal{H}^*\boldsymbol\varphi=-\partial_t\boldsymbol\varphi-B_i\partial_i \boldsymbol\varphi-(\operatorname{div}\mathbf B-C^T)\boldsymbol\varphi$ – сопряженный по Лагранжу к $\mathcal{H}$ оператор, $\boldsymbol\varphi(x,t)$: $\Pi_T\to\mathbb{R}^m$ и $\boldsymbol\varphi_0:=\boldsymbol\varphi|_{t=0}$. Сильным решением этой задачи Коши назовем функцию $\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, имеющую $\nabla\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, $\partial_t\mathbf w\in L^{2,1}(\Pi_T)$ и удовлетворяющую уравнению в задаче (2.1) в $L^{2,1}(\Pi_T)$ и начальному условию $\mathbf w|_{t=0}=\mathbf w_0$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Сильное решение является также слабым решением, а слабое решение с $\nabla\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, $\partial_t\mathbf w\in L^{2,1}(\Pi_T)$ – сильным. Ниже используются условия типа $\|\mathbf B\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$, где $N\geqslant 1$ – параметр, и для краткости в них всегда автоматически подразумевается, что $\mathbf B\in L^\infty(\Pi_T)$. Возникают постоянные $C(N,T)\geqslant 0$, $C_1(N,T)\geqslant 0$, $\dots$, неубывающие по $N,T$, причем разные постоянные могут обозначаться одинаково. Пусть $I_m$ – единичная матрица порядка $m$. Пусть $\Delta_\xi C(x,t):=C(x+\xi,t)-C(x,t)$. Начнем со свойств слабого и сильного решений задачи Коши (2.1). Теорема 1. 1. a) Пусть выполнены условия (2.2) и $0.5\operatorname{div}\mathbf B-C\leqslant c_0I_m$ почти всюду (п.в.)\ в $\Pi_T$ с постоянной $c_0\geqslant 0$ (можно считать, что $c_0\leqslant\|0.5\operatorname{div}\mathbf B-C\|_{L^\infty(\Pi_T)}$). Тогда существует слабое решение $\mathbf w$ задачи Коши (2.1) и для него верна оценка b) Более того, если $\nabla\mathbf B\in L^\infty(\Pi_T)$, $\displaystyle \lim_{\xi\to 0}\int_0^T\|\Delta_\xi C\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\,dt=0$, то слабое решение единственно. Оно также обладает свойством $\mathbf w\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$, и поэтому указанная оценка принимает вид
$$
\begin{equation}
\|\mathbf w\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}\leqslant e^{c_0T}\bigl(\|\mathbf w_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+2\|\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
2. Пусть $\|\{\mathbf B,C,\nabla\mathbf B,\nabla C\}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$ и $\mathbf f,\nabla\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf w_0\in H^1(\mathbb{R}^n)$. Тогда слабое решение $\mathbf w$ является сильным решением, оно единственно и для него верна оценка
$$
\begin{equation}
\|\nabla\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}+\|\partial_t\mathbf w\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \leqslant C_1(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)} +\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{1,0}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Если также $\mathbf f\in L^{2,q}(\Pi_T)$ при некотором $1\leqslant q\leqslant\infty$, то $\partial_t\mathbf w\in L^{2,q}(\Pi_T)$ и
$$
\begin{equation}
\|\partial_t\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}\leqslant C_2(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)} +\|\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}+\|\nabla\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
3. a) Пусть дополнительно $\|\{\nabla^2\mathbf B,\nabla^2C\}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$ и $\nabla^2\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf w_0\in H^2(\mathbb{R}^n)$. Тогда для сильного решения $\mathbf w$ существуют $\nabla^2\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, $\partial_t\nabla\mathbf w\in L^{2,1}(\Pi_T)$ и
$$
\begin{equation}
\|\nabla^2\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}+\|\partial_t\nabla\mathbf w\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \leqslant C_3(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)} +\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,0}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
b) Если также $\|\{\partial_t\mathbf B,\partial_tC\}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$ и $\mathbf f,\nabla\mathbf f,\partial_t\mathbf f\in L^{2,q}(\Pi_T)$ при некотором $1\leqslant q\leqslant\infty$, то дополнительно существует $\partial_t^2\mathbf w\in L^{2,q}(\Pi_T)$ и Доказательство. а) Введем усреднение по $x$ где $h>0$, $e_h(\xi)=h^{-n}\widehat{e}(\xi_1/h)\cdots \widehat{e}(\xi_n/h)$, $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$, $\widehat{e}(a)=\max\{1-|a|,0\}$, $\Omega_h=(-h,h)^n$.
Предварительно напомним, что свойство $B_i=B_i^T$, $i=1,\dots,n$, и интегрирование по частям по $x$ (т.е. по $x_1,\dots,x_n$) дают $(B_i\partial_i\mathbf v,\mathbf v)_{\mathbb{R}^n}=-(\mathbf v,(\operatorname{div}\mathbf B)\mathbf v+B_i\partial_i\mathbf v)_{\mathbb{R}^n}$, откуда
$$
\begin{equation}
(B_i\partial_i\mathbf v,\mathbf v)_{\mathbb{R}^n} =-0.5((\operatorname{div}\mathbf B)\mathbf v,\mathbf v)_{\mathbb{R}^n} \quad \forall\, \mathbf v\in H^1(\mathbb{R}^n),
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $B_i=B_i(\cdot,t),\operatorname{div}\mathbf B(\cdot,t)$ для п.в. $t\in (0,T)$. Здесь сначала $\partial_kB_k\in L^\infty(\Pi_T)$, $k=1,\dots,n$. Это предположение снимается введением усреднений $\sigma^{(h)}B_k$, использованием оценок $\|\sigma^{(h)}B_k\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant\|B_k\|_{L^\infty(\Pi_T)}$, $\|\operatorname{div}\sigma^{(h)}\mathbf B\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant\|\operatorname{div}\mathbf B\|_{L^\infty(\Pi_T)}$ и $*$-слабым в $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ предельным переходом
$$
\begin{equation*}
\sigma^{(h)}B_k(\cdot,t)\to B_k(\cdot,t), \qquad \operatorname{div}\sigma^{(h)}\mathbf B(\cdot,t)=\sigma^{(h)}\operatorname{div}\mathbf B(\cdot,t)\to\operatorname{div}\mathbf B(\cdot,t)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой последовательности $h=h_l(t)\to 0$ при $l\to \infty$ и п.в. $t\in (0,T)$.
Для доказательства существования слабого решения удобно применить метод искусственной вязкости (см., например, [4; п. 7.3]), введя задачу Коши для сильно параболической системы уравнений с простейшей главной частью
$$
\begin{equation}
\partial_t\mathbf y-\tau\Delta\mathbf y+B_i\partial_i\mathbf y+C\mathbf y=\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf y|_{t=0}=\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
с малым параметром $\tau>0$, где $\Delta$ – оператор Лапласа. Из теоремы 2 ниже (не связанной с доказываемой теоремой) следует, в частности, что эта задача имеет слабое решение $\mathbf y=\mathbf y_\tau\in V_2(\Pi_T)$, удовлетворяющее интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
(-\mathbf y,\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}+\tau(\nabla\mathbf y,\nabla\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +(B_i\partial_i\mathbf y+C\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} =\ell(\mathbf w_0,\mathbf f;\boldsymbol\varphi)
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
для всех $\boldsymbol\varphi\in H^1(\Pi_T)$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$. Более того, верна равномерная по $\tau$ оценка
$$
\begin{equation}
\max\bigl\{\|\mathbf y_\tau\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)},\sqrt{2\tau}\|\nabla\mathbf y_\tau\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr\} \leqslant e^{c_0T}\bigl(\|\mathbf y_0\|_{\mathbb{R}^n}+2\|\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
В силу этой оценки существует функция $\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$ такая, что $\mathbf y_{\tau_k}\to\mathbf w$ $*$-слабо в $L^{2,\infty}(\Pi_T)$ и $\tau_k\nabla\mathbf y_{\tau_k}\to 0$ в $L^2(\Pi_T)$ для некоторой последовательности $\tau_k\to 0$. Для $\mathbf w$ верна оценка (2.4). Переход к пределу в интегральном тождестве (2.13) для $\mathbf y=\mathbf y_{\tau_k}$ (с использованием формулы $(B_i\partial_i\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}=-(\mathbf y,B_i\partial_i\boldsymbol\varphi+(\operatorname{div}\mathbf B)\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}$) приводит к интегральному тождеству (2.3), т.е. построенная функция $\mathbf w$ – слабое решение задачи Коши (2.1). b) Установим единственность слабого решения в условиях п. 1, b), для чего выведем для любого слабого решения $\mathbf w$ оценку (2.4). Достаточно предполагать, что $\mathbf f=0$, $\mathbf w_0=0$. Воспользуемся методикой Фридрихса (см. [12; гл. 6, § 2]). Подставим в интегральное тождество (2.3) функцию $\boldsymbol\varphi=\sigma^{(h)}\boldsymbol\psi$ и, перебросив $\sigma^{(h)}$ на сомножители (что возможно для усреднений с четным по $\xi_1,\dots,\xi_n$ ядром $e_h(\xi)$) и проинтегрировав по частям по $x$, получим
$$
\begin{equation*}
-(\sigma^{(h)}\mathbf w,\partial_t\boldsymbol\psi)_{\Pi_T} +\bigl(\partial_i\sigma^{(h)}(B_i\mathbf w)-\sigma^{(h)}[(\operatorname{div}\mathbf B-C)\mathbf w],\boldsymbol\psi\bigr)_{\Pi_T}=0
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\boldsymbol\psi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T)$, $\boldsymbol\psi|_{t=T}=0$. Заметим, что $\sigma^{(h)}\mathbf w,\nabla\sigma^{(h)}\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, а в силу последнего тождества
$$
\begin{equation*}
\partial_t\sigma^{(h)}\mathbf w=-\partial_i\sigma^{(h)}(B_i\mathbf w)+\sigma^{(h)}[(\operatorname{div}\mathbf B-C)\mathbf w]\in L^{2,\infty}(\Pi_T)
\end{equation*}
\notag
$$
и $\sigma^{(h)}\mathbf w\big|_{t=0}=0$. Эти результаты перепишем как задачу Коши c сильным решением $\sigma^{(h)}\mathbf w$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{H}\sigma^{(h)}\mathbf w =\mathbf f_1^{(h)}+\mathbf f_2^{(h)}, \qquad \sigma^{(h)}\mathbf w|_{t=0}=0, \\ \mathbf f_1^{(h)}:=B_i\partial_i\sigma^{(h)}\mathbf w-\partial_i\sigma^{(h)}(B_i\mathbf w)+\sigma^{(h)}[(\operatorname{div}\mathbf B)\mathbf w], \\ \mathbf f_2^{(h)}:=C\sigma^{(h)}\mathbf w-\sigma^{(h)}(C\mathbf w). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Для $\sigma^{(h)}\mathbf w$ верна оценка типа (2.4), причем ее вывод аналогичен выводу оценки (2.14), но при $\tau=0$, и поэтому несколько проще. А именно, скалярное умножение в $L^2(\mathbb{R}^n)$ уравнения в (2.15) на $\sigma^{(h)}\mathbf w$ с учетом формулы (2.11) дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0.5\partial_t\bigl(\|\sigma^{(h)}\mathbf w\|_{\mathbb{R}^n}^2\bigr) &=\bigl((0.5\operatorname{div}\mathbf B-C)\sigma^{(h)}\mathbf w,\sigma^{(h)}\mathbf w\bigr)_{\mathbb{R}^n} +(\mathbf f_1^{(h)}+\mathbf f_2^{(h)},\sigma^{(h)}\mathbf w)_{\mathbb{R}^n} \\ &\leqslant c_0\|\sigma^{(h)}\mathbf w\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\|\mathbf f_1^{(h)}+\mathbf f_2^{(h)}\|_{\mathbb{R}^n}\|\sigma^{(h)}\mathbf w\|_{\mathbb{R}^n} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $(0,T)$. Из этого дифференциального неравенства обычным образом вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^{-1/2}\|\sigma^{(h)}\mathbf w\|_{L^2(\Pi_T)} &\leqslant \|\sigma^{(h)}\mathbf w\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \\ &\leqslant 2e^{c_0T}\bigl(\|\mathbf f_1^{(h)}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}+\|\mathbf f_2^{(h)}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где добавленное левое неравенство очевидно (ср. с [12; предложение 6.1]).
Оценим функции $\mathbf f_1^{(h)}, \mathbf f_2^{(h)}$. Если сначала дополнительно $\partial_i\mathbf w\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)$, $i=1,\dots,n$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf f_1^{(h)} &=\bigl(B_i\sigma^{(h)}\partial_i\mathbf w-\sigma^{(h)}(B_i\partial_i\mathbf w)\bigr)(x,t) \\ &=-\int_{\Omega_h}e_h(\xi)[B_i(x+\xi,t)-B_i(x,t)] \partial_i\mathbf w(x+\xi,t)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\partial_i\mathbf w(x+\xi,t)=\partial_{\xi_i}\mathbf w(x+\xi,t)=\partial_{\xi_i}[\mathbf w(x+\xi,t)-\mathbf w(x,t)]$, то интегрирование по частям по $x$ приводит к формуле
$$
\begin{equation*}
\mathbf f_1^{(h)}(x,t)=\int_{\Omega_h}\bigl[(\partial_ie_h)(\xi)\Delta_\xi B_i(x,t) +e_h(\xi)\partial_iB_i(x+\xi,t)\bigr]\Delta_\xi\mathbf w(x,t)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
В нее, как и исходную формулу, уже не входят $\partial_i\mathbf w$. Поэтому замена в этой формуле $\mathbf w$ на $\sigma^{(h)}\mathbf w$ и предельный переход при $h\to 0$ обосновывают ее для любых $\mathbf w\in L^2(\Pi_T)$. Ясно также, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf f_2^{(h)}(x,t)=-\int_{\Omega_h}e_h(\xi)(\Delta_\xi C)(x,t)\mathbf w(x+\xi,t)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу обобщенного неравенства Минковского и условий п. 1, b) имеем
$$
\begin{equation}
\|\mathbf f_1^{(h)}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \leqslant\int_{\Omega_h}\biggl[e_h^{(i)}(\xi) \frac{|\xi|}{h}\|\partial_\xi B_i\|_{L^\infty(\Pi_T)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad +e_h(\xi)\|\operatorname{div}\mathbf B(\cdot+\xi)\|_{L^\infty(\Pi_T)}\biggr]\|\Delta_\xi\mathbf w\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\,d\xi
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant\bigl(c\|\nabla\mathbf B\|_{L^\infty(\Pi_T)}+\|\operatorname{div}\mathbf B\|_{L^\infty(\Pi_T)}\bigr) \sup_{\xi\in\Omega_h}\|\Delta_\xi\mathbf w\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\to 0,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\|\mathbf f_2^{(h)}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \leqslant\int_{\Omega_h}e_h(\xi)\|\Delta_\xi C\|_{L^{\infty,1}(\Pi_T)}\|\mathbf w(\cdot+\xi)\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}\,d\xi
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant\biggl(\frac{1}{h^n}\int_{\Omega_h}\|\Delta_\xi C\|_{L^{\infty,1}(\Pi_T)}\,d\xi\biggr) \|\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}\to 0
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
при $h\to 0$, где $e_h^{(i)}(\xi)$ получается из $e_h(\xi)$ заменой множителя $\widehat{e}_h(\xi_i)$ на $h^{-1}$, а $\partial_\xi$ – производная по направлению $\xi$. Поскольку также $\sigma^{(h)}\mathbf w\to\mathbf w$ в $L^2(\Pi_T)$, то $\|\sigma^{(h)}\mathbf w\|_{L^2(\Pi_T)}\to\|\mathbf w\|_{L^2(\Pi_T)}$, и предельный переход в левой и правой частях неравенства (2.16) дает $\|\mathbf w\|_{L^2(\Pi_T)}=0$, т.е. $\mathbf w=0$. Единственность слабого решения доказана. В (2.17) и поэтому в данном доказательстве можно расширить условие на $\nabla\mathbf B$ до $\nabla\mathbf B\in L^{\infty,q}(\Pi_T)$ с каким-либо $q>1$. Свойство $\mathbf w\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ будет выведено ниже после доказательства п. 2.
c) Введем разностное отношение и оператор сдвига по координате $x_j$:
$$
\begin{equation*}
\delta_{jh}v(x)=\frac{1}{h}[v(x+h\check{\mathbf e}_j)-v(x)] \quad (h\neq 0), \qquad s_{jh}v=v(x+h\check{\mathbf e}_j), \qquad j=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\check{\mathbf e}_1,\dots,\check{\mathbf e}_n$ – канонический базис в $\mathbb{R}^n$. Напомним, что в силу обобщенных формулы Ньютона–Лейбница и неравенства Минковского верна оценка
$$
\begin{equation}
\|\delta_{jh}v\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leqslant\|\partial_jv\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \quad \forall\, v,\partial_jv\in L^p(\mathbb{R}^n), \quad 1\leqslant p\leqslant\infty.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Формальное применение оператора $\delta_{jh}$ к задаче Коши (2.12) с $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ с использованием формулы $\delta_{jh}(vw)=v\delta_{jh}w+(\delta_{jh}v)s_{jh}w$ дает
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\partial_t\delta_{jh}\mathbf y_\tau-\tau\Delta\delta_{jh}\mathbf y_\tau+B_i\partial_i\delta_{jh}\mathbf y_\tau+C\delta_{jh}\mathbf y_\tau \\ &\qquad =-(\delta_{jh}B_i)\partial_is_{jh}\mathbf y_\tau-(\delta_{jh}C)s_{jh}\mathbf y_\tau+\delta_{jh}\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \end{split} \\ \delta_{jh}\mathbf y_\tau|_{t=0}=\delta_{jh}\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Строго эта задача Коши возникает при подстановке в интегральное тождество (2.13) функции $\boldsymbol\varphi=-\delta_{j(-h)}\boldsymbol\psi$ и использовании элементарной формулы
$$
\begin{equation*}
(\mathbf v,-\delta_{j(-h)}\boldsymbol\psi)_{\mathbb{R}^n}=(\delta_{jh}\mathbf v,\boldsymbol\psi)_{\mathbb{R}^n} \quad \forall\,\mathbf v\in L^2(\mathbb{R}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Применим к слабому решению $\delta_{jh}\mathbf y_\tau$ этой задачи оценку (2.14) и затем в условиях п. 2 на $\mathbf B,C$ воспользуемся оценкой (2.19):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\max\bigl\{\|\delta_{jh}\mathbf y_\tau\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)},\sqrt{2\tau}\|\nabla\delta_{jh}\mathbf y_\tau\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr\} \leqslant 2e^{c_0T}\bigl(\|\delta_{jh}\mathbf w_0\|_{\mathbb{R}^n} \\ &\quad\qquad +\|(\delta_{jh}B_i)\partial_is_{jh}\mathbf y_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\|(\delta_{jh}C)s_{jh}\mathbf y_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\|\delta_{jh}\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \bigr) \\ &\quad \leqslant 2e^{c_0T}\bigl(\|\partial_j\mathbf w_0\|_{\mathbb{R}^n} +\|\partial_jB_i\|_{L^\infty(\Pi_T)}\|\partial_i\mathbf y_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\|\partial_jC\|_{L^\infty(\Pi_T)}\|\mathbf y_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \\ &\quad\qquad +\|\partial_j\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым с учетом оценки (2.14) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\max_{j=1,\dots,n}\|\delta_{jh}\mathbf y_\tau\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \\ &\qquad \leqslant C(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\{\mathbf f,\nabla\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\|\nabla\mathbf y_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C(N,T)$ не зависит от $h$ и, напомним, не убывает по $T$. С помощью теоремы о связи между производной и разностным отношением (см., например, [15; п. 4.8]) выводим, что сначала $\nabla\mathbf y_\tau\in L^2(\Pi_T)$ и затем $\nabla\mathbf y_\tau\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$ и верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\|\nabla\mathbf y_\tau\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \leqslant C(N,T)\biggl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\{\mathbf f,\nabla\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\int_0^T\|\nabla\mathbf y_\tau(\cdot,t)\|_{\mathbb{R}^n}\,dt\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В нем можно заменить $T$ на любое $0<t\leqslant T$, поэтому также
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\operatorname*{ess\,sup}_{0<\theta<t}\|\nabla\mathbf y_\tau(\cdot,\theta)\|_{\mathbb{R}^n} \\ & \qquad \leqslant C(N,T)\biggl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\{\mathbf f,\nabla\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\int_0^t\|\nabla\mathbf y_\tau(\cdot,\theta)\|_{\mathbb{R}^n}\,d\theta\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
y(t)=\lim_{h\to +0}\frac{1}{h}\int_{t-h}^ty(\theta)\,d\theta \leqslant\operatorname*{ess\,sup}_{0<\theta<t}y(\theta) \quad \text{п.в. в }\ (0,T) \quad \forall\, y\in L^\infty(0,T)
\end{equation*}
\notag
$$
с $y(t):=0$ при $t<0$, где предел существует в силу варианта теоремы о точках Лебега суммируемой функции (см. [25; теорема 1.34]). Поэтому левую часть неравенства (2.20) можно оценить снизу через $\|\nabla\mathbf y_\tau(\cdot,t)\|_{\mathbb{R}^n}$ для п.в. $t\in (0,T)$. Тогда по интегральной лемме Гронуолла (см., например, [4; приложение B.2k]) верна равномерная по $\tau$ оценка
$$
\begin{equation*}
\|\nabla\mathbf y_\tau\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \leqslant C_1(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\{\mathbf f,\nabla\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
В $*$-слабом пределе в $L^{2,\infty}(\Pi_T)$ при $\tau\to 0$ из нее вытекает оценка
$$
\begin{equation}
\|\nabla\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \leqslant C_1(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\{\mathbf f,\nabla\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr),
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $\mathbf w$ можно считать построенным выше слабым решением.
Для него, проинтегрировав по частям по $x$, интегральное тождество (2.3) запишем в виде
$$
\begin{equation*}
-(\mathbf w,\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} {=}\,(\mathbf w_0,\boldsymbol\varphi|_{t=0})_{\mathbb{R}^n} +(\mathbf f-B_i\partial_i\mathbf w-C\mathbf w,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \quad \forall\,\boldsymbol\varphi\,{\in}\, W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T),\ \boldsymbol\varphi|_{t=T}\,{=}\,0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что существует $\partial_t\mathbf w=\mathbf f-B_i\partial_i\mathbf w-C\mathbf w\in L^{2,1}(\Pi_T)$, и далее $\mathbf w\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ и $\mathbf w|_{t=0}=\mathbf w_0$, т.е. слабое решение является сильным.
При $\mathbf f\in L^{2,q}(\Pi_T)$ с некоторым $1\leqslant q\leqslant\infty$ в силу уравнения в (2.1) верна оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\partial_t\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} & \leqslant \|B_i\|_{L^\infty(\Pi_T)}\|\partial_i\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} +\|C\|_{L^\infty(\Pi_T)}\|\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} +\|\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} \\ &\leqslant c(N)T^{1/q}\|\{\nabla\mathbf w,\mathbf w\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}+\|\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из оценок (2.4), (2.21) и последней оценки следуют оценки (2.6), (2.7).
Указанное в п. 1, b) условие на $C$ гораздо шире, чем $\nabla C\in L^\infty(\Pi_T)$, поэтому сильное решение единственно. d) В условиях п. 1, b) выведем свойство слабого решения $\mathbf w\,{\in}\, C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$, что завершит доказательство п. 1. Пусть $C_k=\sigma^{(1/k)}C$, $k=1,2,\dots$, тогда $\nabla C_k\in L^\infty(\Pi_T)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|C-C_k\|_{L^{\infty,1}(\Pi_T)} & =\biggl\|\int_{\Omega_{1/k}}e_{1/k}(\xi)\Delta_\xi C\,d\xi\biggr\|_{L^{\infty,1}(\Pi_T)} \\ &\leqslant k^n\int_{\Omega_{1/k}}\|\Delta_\xi C\|_{L^{\infty,1}(\Pi_T)}\,d\xi\to 0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\to\infty$ аналогично (2.18). Для $\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf w_0\in L^2(\mathbb{R}^n)$ построим последовательности функций $\mathbf f_k=\sigma^{(1/k)}\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$ с $\nabla\mathbf f_k\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf f_k\to\mathbf f$ в $L^{2,1}(\Pi_T)$, и $\mathbf w_{0k}=\sigma^{(1/k)}\mathbf w_0\in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\mathbf w_{0k}\to\mathbf w_0$ в $L^2(\mathbb{R}^n)$ при $k\to\infty$.
Пусть $\mathbf w_k$ – сильное решение задачи Коши, отвечающее $C=C_k$, $\mathbf f=\mathbf f_k$, $\mathbf w_0=\mathbf w_{0k}$. Тогда для него верна оценка типа (2.4), а точнее типа (2.5):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\mathbf w_k\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} &\leqslant e^{\widetilde{c}_0T}\bigl(\|\mathbf w_{0k}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+2\|\mathbf f_k\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr) \\ &\leqslant e^{\widetilde{c}_0T}\bigl(\|\mathbf w_{0}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+2\|\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
c $\widetilde{c}_0=0.5\|\operatorname{div}\mathbf B\|_{L^\infty(\Pi_T)}+\|C\|_{L^\infty(\Pi_T)}$. Кроме того, разность $\mathbf w_k-\mathbf w_l$ является сильным решением следующей задачи Коши:
$$
\begin{equation*}
\partial_t(\mathbf w_k-\mathbf w_l)+B_i\partial_i(\mathbf w_k-\mathbf w_l)+C_k(\mathbf w_k-\mathbf w_l) =\mathbf f_k-\mathbf f_l+(C_l-C_k)\mathbf w_l \quad \text{в }\ \Pi_T
\end{equation*}
\notag
$$
и $(\mathbf w_k-\mathbf w_l)|_{t=0}=\mathbf w_{0k}-\mathbf w_{0l}$. Поэтому для нее верна оценка типа левой оценки (2.22):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\mathbf w_k-\mathbf w_l\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \leqslant 2e^{\widetilde{c}_0T}\bigl(\|\mathbf w_{0k}-\mathbf w_{0l}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \\ &\qquad\qquad +\|\mathbf f_k-\mathbf f_l\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\|C_k-C_l\|_{L^{\infty,1}(\Pi_T)}\|\mathbf w_l\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из равномерной по $k$ оценки (2.22) и фундаментальности последовательностей $C_k$ в $L^{\infty,1}(\Pi_T)$, $\mathbf f_k$ в $L^{2,1}(\Pi_T)$ и $\mathbf w_{0k}$ в $L^2(\mathbb{R}^n)$ следует фундаментальность последовательности $\mathbf w_k$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Значит, $\mathbf w_k\to\mathbf w$ сходится в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Выполнив предельный переход в тождестве (2.3), записанном для $\mathbf w=\mathbf w_k$ и $C=C_k$, $\mathbf f=\mathbf f_k$, $\mathbf w_0=\mathbf w_{0k}$, получим, что построенная функция $\mathbf w$ служит (единственным) слабым решением задачи Коши (2.1).
e) Пусть выполнены условия п. 3, a) теоремы. Для сильного решения $\mathbf w$ введем функции $\mathbf v_k=\partial_k\mathbf w\in L^{2,\infty}(\Pi_T)$, $k=1,\dots,n$, и получим для них расширенную систему уравнений (см. [13; § 12]). Выберем $\boldsymbol\varphi:=-\partial_k\boldsymbol\psi$ в интегральном тождестве (2.3), воспользуемся формулой
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^*\partial_k\boldsymbol\psi=\partial_k\mathcal{H}^*\boldsymbol\psi+\partial_j[(\partial_kB_j)\boldsymbol\psi]-(\partial_kC^T)\boldsymbol\psi,
\end{equation*}
\notag
$$
проинтегрируем по частям по $x_k$ и $x_j$ и получим
$$
\begin{equation*}
(\mathbf v_k,\mathcal{H}^*\boldsymbol\psi)_{\Pi_T}+((\partial_kB_j)\mathbf v_j,\boldsymbol\psi)_{\Pi_T} =(\partial_k\mathbf w_0,\boldsymbol\psi|_{t=0})_{\mathbb{R}^n} +(\partial_k\mathbf f-(\partial_kC)\mathbf v_k,\boldsymbol\psi)_{\Pi_T}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\boldsymbol\psi$ таких, что $\boldsymbol\psi,\nabla\boldsymbol\psi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T)$, $\boldsymbol\psi|_{t=T}=0$. Такие функции $\boldsymbol\psi$ плотны в пространстве функций $\boldsymbol\psi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T)$, $\boldsymbol\psi|_{t=T}=0$. Это означает, что составная вектор-функция $\nabla\mathbf w=(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n)$: $\Pi_T\to\mathbb{R}^{mn}$ является слабым решением задачи Коши для расширенной гиперболической системы уравнений с $n$ искомыми вектор-функциями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \partial_t\mathbf v_k+B_i\partial_i\mathbf v_k+C\mathbf v_k+(\partial_kB_j)\mathbf v_j= \mathbf f_k:= \partial_k\mathbf f-(\partial_kC)\mathbf w \quad \text{в }\ \Pi_T, \\ \mathbf v_k|_{t=0}=\partial_k\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=1,\dots,n$ и функции $\mathbf f_k$ считаем известными.
Эта задача Коши аналогична исходной, и в условиях п. 3, a) к ней можно применить пп. 1, 2. Поэтому ее слабое решение $\nabla\mathbf w$ единственно, является сильным решением и удовлетворяет оценке
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\nabla(\nabla\mathbf w)\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}+\|\partial_t(\nabla\mathbf w)\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \\ &\qquad \leqslant C(N,T)\bigl(\|\nabla(\nabla\mathbf w_0)\|_{\mathbb{R}^n} +\|\{\nabla\mathbf f-(\nabla C)\mathbf w,\nabla[\nabla\mathbf f-(\nabla C)\mathbf w]\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr) \\ &\qquad \leqslant C_1(N,T)\bigl(\|\nabla^2\mathbf w_0\|_{\mathbb{R}^n} +\|\{\nabla\mathbf f,\nabla^2\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\|\{\mathbf w,\nabla\mathbf w\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\nabla C)\mathbf w=((\partial_1C)\mathbf w,\dots,(\partial_nC)\mathbf w)$ и учтено то, что $\|\{\nabla^2\mathbf B,\nabla^2 C\}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$ дополнительно к пп. 1, 2. Из этой оценки и выведенных выше оценок (2.4), (2.6) вытекает оценка (2.8).
Если также $\partial_t\mathbf B,\partial_tC\in L^\infty(\Pi_T)$ и $\mathbf f,\nabla\mathbf f,\partial_t\mathbf f\in L^{2,q}(\Pi_T)$ при некотором $1\leqslant q\leqslant\infty$, то можно применить $\partial_t$ к уравнению в (2.1), воспользоваться им еще раз и вывести формулу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_t^2\mathbf w &=-B_i\partial_t\partial_i\mathbf w\mathbf -(\partial_tB_i)\partial_i\mathbf w\mathbf -C\partial_t\mathbf w-(\partial_tC)\mathbf w+\partial_t\mathbf f \\ &=B_i\partial_i(B_j\partial_j\mathbf w+C\mathbf w-\mathbf f)-(\partial_tB_i)\partial_i\mathbf w\mathbf -C\partial_t\mathbf w-(\partial_tC)\mathbf w+\partial_t\mathbf f. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из нее в силу наложенных в п. 3 условий на нормы $\mathbf B$, $C$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\partial_t^2\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} \leqslant c(N)\bigl(T^{1/q}\|\{\mathbf w,\nabla\mathbf w,\nabla^2\mathbf w\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}+ \\ &\qquad\qquad +\|\partial_t\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} +\|\nabla\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}\bigr) +\|\partial_t\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу оценок (2.4)–(2.8) верна и оценка (2.9). Теорема 1 доказана. § 3. Сильно параболическая и гиперболическая 2-го порядка системы уравнений с малым параметром $\tau$Введем теперь задачу Коши для параболической системы уравнений 2-го порядка – возмущения системы в (2.1) с малым параметром $0<\tau\leqslant\overline{\tau}$ при вторых производных по $x$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_\tau\mathbf y:=\mathcal{H}\mathbf y-\tau\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf y)=\mathbf f_\tau+\tau\partial_i\mathbf g_{i\tau} \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь $\mathbf y(x,t),\mathbf f_\tau(x,t),\mathbf g_{i\tau}(x,t)$: $\Pi_T\to\mathbb{R}^m$, $\mathbf y_{0\tau}(x)$: $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ – искомая и заданные вектор-функции, $A_{ij}\in L^\infty(\Pi_T)$ – коэффициенты – матрицы-функции порядка $m$, а $i,j=1,\dots,n$. Следуя [24; гл. V, § 1], будем предполагать, что выполнено условие
$$
\begin{equation}
\nu\|\nabla\mathbf v\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2-\mu\|\mathbf v\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 \leqslant (A_{ij}\partial_j\mathbf v,\partial_i\mathbf v)_{\mathbb{R}^n} \quad \forall\,\mathbf v\in H^1(\mathbb{R}^n) \quad \text{п.в. в }\ (0,T)
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
с некоторыми постоянными $\nu>0$ и $\mu\geqslant 0$. Очевидно, что это условие с $\mu=0$ следует из более грубого алгебраического неравенства
$$
\begin{equation}
\nu\bigl(|\mathbf w_1|^2+\dots|\mathbf w_n|^2\bigr) \leqslant (A_{ij}(x,t)\mathbf w_j)\cdot \mathbf w_i \quad \forall\,\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_n\in \mathbb{R}^m \quad \text{п.в. в }\ \Pi_T
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
с тем же $\nu>0$. Если ввести блочные матрицу $A=\{A_{ij}\}_{i,j=1}^n$ порядка $mn$ и вектор-столбец $\mathbf w=(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_n)$ длины $mn$, то последнее неравенство примет компактный вид
$$
\begin{equation*}
\nu|\mathbf w|^2\leqslant (A(x,t)\mathbf w)\cdot\mathbf w \quad \forall\,\mathbf w\in \mathbb{R}^{mn} \quad \text{п.в. в }\ \Pi_T.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть выполнены условия
$$
\begin{equation}
B_i,C,A_{ij}\in L^\infty(\Pi_T), \quad i,j=1,\dots,n, \qquad \mathbf f_\tau\in L^{2,1}(\Pi_T), \qquad \mathbf y_{0\tau}\in L^2(\mathbb{R}^n)
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
и $\mathbf g_\tau:=(\mathbf g_{1\tau},\dots,\mathbf g_{n\tau})\in L^2(\Pi_T)$. Слабым решением задачи Коши (3.1) назовем функцию $\mathbf y\in V_2(\Pi_T)$, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-(\mathbf y,\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}+(B_i\partial_i\mathbf y+C\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \\ &\qquad =\ell(\mathbf y_{0\tau},\mathbf f_{\tau};\boldsymbol\varphi)-\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in H^1(\Pi_T)$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$. Теорема 2. Пусть выполнены условия (3.2), (3.4), $\operatorname{div}\mathbf B\in L^\infty(\Pi_T)$, $0.5\operatorname{div}\mathbf B-C\leqslant c_0I_m$ п.в. в $\Pi_T$ и $\mathbf g_\tau\in L^2(\Pi_T)$. Тогда существует единственное слабое решение $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ задачи Коши (3.1), причем $\mathbf y_\tau\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ и верна его энергетическая оценка Доказательство. 1. Сначала выведем оценку (3.6) в качестве априорной в предположении, что $\partial_t\mathbf y\in L^2(\Pi_T)$. Тогда из интегрального тождества (3.5) следует тождество
$$
\begin{equation*}
(\partial_t\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n}+(B_i\partial_i\mathbf y+C\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n} =(\mathbf f_{\tau},\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n}-\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in H^1(\mathbb{R}^n)$ п.в. на $(0,T)$ и $\mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau}$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Из него при $\boldsymbol\varphi=\mathbf y$ с помощью формулы (2.11) получаются энергетические соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &0.5\partial_t\bigl(\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2\bigr) +\tau\bigl(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad =\bigl((0.5\operatorname{div}\mathbf B-C)\mathbf y,\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n}+(\mathbf f_\tau,\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} -\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad \leqslant c_0\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2+\|\mathbf f_\tau\|_{\mathbb{R}^n}\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n} +\tau\|\mathbf g_\tau\|_{\mathbb{R}^n}\|\nabla\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n} \quad \text{п.в. на }\ (0,T). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий (3.2), неравенства $0.5\operatorname{div}\mathbf B-C\leqslant c_0I_m$ и неравенства Коши с $\varepsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
0.5\partial_t\bigl(\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2\bigr) +0.5\nu\tau\|\nabla\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 \leqslant (c_0+\overline{\tau}\mu)\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2+\|\mathbf f_\tau\|_{\mathbb{R}^n}\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n} +0.5\nu^{-1}\tau\|\mathbf g_\tau\|_{\mathbb{R}^n}^2
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $(0,T)$. Это дифференциальное неравенство обычным образом влечет априорную оценку (3.6).
2. Для вывода существования решения введем родственную начально-краевую задачу
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{P}_\tau\mathbf y^{(k)}=\mathbf f_\tau+\tau\partial_i\mathbf g_{i\tau} \quad \text{в }\ \Pi_{kT}:=\Omega_k\times (0,T), \\ \mathbf y^{(k)}|_{\Gamma_{kT}}=0, \qquad \mathbf y^{(k)}|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau} \quad \text{в }\ \Omega_k \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с параметром $k\geqslant 1$, где $\Omega_k:=(-k,k)^n$, $\Gamma_{kT}=\partial\Omega_k\times (0,T)$, а $\partial\Omega_k$ – граница $\Omega_k$. По определению ее слабое решение $\mathbf y^{(k)}\in V_2(\Pi_{kT})$ удовлетворяет интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-(\mathbf y^{(k)},\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}}+(B_i\partial_i\mathbf y^{(k)}+C\mathbf y^{(k)},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y^{(k)},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} \\ &\qquad =(\mathbf y_{0\tau},\boldsymbol\varphi|_{t=0})_{\Omega_k} +(\mathbf f_\tau,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}}-\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in H^1(\Pi_{kT})$, $\boldsymbol\varphi|_{\Gamma_{kT}}=0$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$, а также краевому условию $\mathbf y^{(k)}|_{\Gamma_{kT}}=0$. Здесь $V_2(\Pi_{kT})$, $(\cdot,\cdot)_{\Pi_{kT}}$ и $(\cdot,\cdot)_{\Omega_k}$ вводятся аналогично $V_2(\Pi_T)$, $(\cdot,\cdot)_{\Pi_T}$ и $(\cdot,\cdot)_{\mathbb{R}^n}$.
Существование слабого решения $\mathbf y^{(k)}$ выводится стандартным образом методом Галеркина (см. [23; гл. III]). При этом сначала для приближений Галеркина, а затем предельным переходом для самого $\mathbf y^{(k)}$ вполне аналогично (3.6) доказывается оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\max\bigl\{\|\mathbf y^{(k)}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_{kT})}, \sqrt{\nu\tau}\|\nabla\mathbf y_\tau\|_{L^2(\Pi_{kT})}\bigr\} \\ &\qquad \leqslant e^{\overline{c}_0T}\bigl(\|\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\Omega_k)} +2\|\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_{kT})}+\sqrt{\nu^{-1}\tau}\|\mathbf g_\tau\|_{L^2(\Pi_{kT})}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Доопределим $\mathbf y^{(k)}=0$ на $\Pi_T\setminus\Pi_{kT}$. Тогда $\mathbf y^{(k)}\in V_2(\Pi_T)$, и из (3.8) следует равномерная по $k$ оценка вида (3.6) с $\mathbf y^{(k)}$ в роли $\mathbf y_\tau$ и $L^{2,\infty}(\Pi_T)$ вместо $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. В силу этой оценки существует функция $\mathbf y\in V_2(\Pi_T)$ такая, что $\mathbf y^{(k)}\to\mathbf y$ $*$-слабо в $L^{2,\infty}(\Pi_T)$ и $\nabla\mathbf y^{(k)}\to \nabla\mathbf y$ слабо в $L^2(\Pi_T)$ для некоторой подпоследовательности $k=k_l\to\infty$. Для $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ верна оценка (3.6) с $L^{2,\infty}(\Pi_T)$ вместо $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Интегральное тождество (3.7) перепишем в виде (3.5) с $\mathbf y^{(k)}$ в роли $\mathbf y$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-(\mathbf y^{(k)},\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}+(B_i\partial_i\mathbf y^{(k)}+C\mathbf y^{(k)},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y^{(k)},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \\ &\qquad =\ell(\mathbf y_{0\tau},\mathbf f_{\tau};\boldsymbol\varphi)-\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для тех же $\boldsymbol\varphi$, что и в (3.7), с $\boldsymbol\varphi=0$ на $\Pi_T\setminus\Pi_{kT}$. Переход в его левой части к пределу при $k=k_l\to\infty$ приводит к интегральному тождеству (3.5), в котором дополнительно $\boldsymbol\varphi$ финитна по $x$. Последнее не ограничивает общности, поэтому построенная функция $\mathbf y$ – слабое решение задачи Коши (3.1).
3. Установим свойство $\mathbf y\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ и единственность слабого решения. Для первого пусть сначала дополнительно $\mathbf f_\tau\in L^2(\Pi_T)$. Для любого слабого решения $\mathbf y$ тождество (3.5) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
-(\mathbf y,\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}=(\mathbf b,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}-(\mathbf b_i,\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \quad \forall\,\boldsymbol\varphi\in H^1(\Pi_T), \quad \boldsymbol\varphi|_{t=0,T}=0
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
с $\mathbf b=\mathbf f_\tau-(B_i\partial_i\mathbf y+C\mathbf y),\mathbf b_i=\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y+\mathbf g_{i\tau})\in L^2(\Pi_T)$. Поэтому существует производная по $t$ в смысле распределений $\partial_t\mathbf y\in L^2(0,T;H^{-1}(\mathbb{R}^n))$, где $H^{-1}(\mathbb{R}^n)=[H^1(\mathbb{R}^n)]^*$, и поскольку также $\mathbf y\in L^2(0,T;H^1(\mathbb{R}^n))$, то $\mathbf y\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ (см., например, [26; гл. IV, теорема 1.17]). Кроме того, из тождества (3.9) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^T\langle\partial_t\mathbf y(\cdot,t),\boldsymbol\varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathbb{R}^n}\,dt+(B_i\partial_i\mathbf y+C\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \\ &\qquad =(\mathbf f_{\tau},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}-\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in L^2(\Pi_T)$ с $\nabla\boldsymbol\varphi\in L^2(\Pi_T)$, где $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^n}$ – отношение двойственности на $H^{-1}(\mathbb{R}^n)\times H^1(\mathbb{R}^n)$. Также $\mathbf y(\cdot,0)=\mathbf y_{0\tau}(\cdot)$.
Для однородной задачи Коши (т.е. с $\mathbf f_\tau=0$, $\mathbf g_\tau=0$, $\mathbf y_{0\tau}=0$) в последнем тождестве выберем $\boldsymbol\varphi=\mathbf y$ в $\Pi_t$ и $\boldsymbol\varphi=0$ в $\Pi_T\setminus\Pi_t$, $0<t\leqslant T$. В силу формулы
$$
\begin{equation*}
2\int_0^t\langle\partial_t\mathbf y(\cdot,\theta),\mathbf y(\cdot,\theta)\rangle_{\mathbb{R}^n}\,d\theta =\|\mathbf y(\cdot,t)\|_{\mathbb{R}^n}^2-\|\mathbf y(\cdot,0)\|_{\mathbb{R}^n}^2 \quad \text{на }\ [0,T]
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [26; гл. IV, теорема 1.17 и замечание 1.22]), подобно п. 1 доказательства имеем
$$
\begin{equation*}
0.5\|\mathbf y(\cdot,t)\|_{\mathbb{R}^n}^2\leqslant (c_0+\overline{\tau}\mu)\int_0^t\|\mathbf y(\cdot,\theta)\|_{\mathbb{R}^n}^2\,d\theta \quad \text{на }\ [0,T].
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $\mathbf y=0$, и поэтому в условиях теоремы слабое решение единственно. (В более общем варианте независимо от предыдущей части доказательства аналогично можно доказать, что при $\mathbf f_\tau\in L^2(\Pi_T)$ для любого слабого решения верна оценка (3.6).)
Осталось вывести свойство $\mathbf y\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ при $\mathbf f_\tau\in L^{2,1}(\Pi_T)$. Для этого (подобно доказательству теоремы 1, п. d) достаточно вместо $\mathbf f_\tau$ взять $\mathbf f_{\tau k}\in L^2(\Pi_T)$ с $k=1,2,\dots$, $\mathbf f_{\tau k}\to\mathbf f_\tau$ в $L^{2,1}(\Pi_T)$ при $k\to\infty$, и рассмотреть соответствующие слабые решения задачи Коши $\mathbf y_k$. По доказанному выше имеем
$$
\begin{equation*}
\max\bigl\{\|\mathbf y_k-\mathbf y_l\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}, \sqrt{\nu\tau}\, \|\nabla(\mathbf y_k-\mathbf y_l)\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr\} \leqslant e^{\overline{c}_0T}2\|\mathbf f_{\tau k}-\mathbf f_{\tau l}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $k,l=1,2,\dots$ . Поэтому $\mathbf y_k\to\mathbf z$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$, $\nabla\mathbf y_k\to\nabla\mathbf z$ в $L^2(\Pi_T)$ при $k\to\infty$. Предельный переход в тождестве (3.5), записанном для $\mathbf y=\mathbf y_k$ и $\mathbf f_\tau=\mathbf f_{\tau k}$, дает то, что $\mathbf z=\mathbf y$ – слабое решение задачи Коши.
Теорема 2 доказана. Введем теперь задачу Коши для гиперболической системы уравнений 2-го порядка – возмущения исходной системы в (2.1) с параметром $0<\tau\leqslant\overline{\tau}$ при старших производных
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_\tau\mathbf y:=\tau\partial_t^2\mathbf y+\mathcal{H}\mathbf y-\tau\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf y)=\mathbf f_\tau \quad \text{в }\ \Pi_T,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau}, \quad \partial_t\mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{1\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Здесь $\mathbf y(x,t),\mathbf f_\tau(x,t)$: $\Pi_T\to\mathbb{R}^m$, $\mathbf y_{0\tau}(x),\mathbf y_{1\tau}(x)$: $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ – искомая и заданные вектор-функции. Пусть выполнены условия (3.4) и $\mathbf y_{1\tau}\in L^2(\mathbb{R}^n)$. Слабым решением задачи Коши (3.10), (3.11) назовем функцию $\mathbf y\in W_{2,\infty}^{1,1}(\Pi_T)$, удовлетворяющую интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
-\tau(\partial_t\mathbf y,\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +(\mathcal{H}\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} =\ell(\mathbf y_{1\tau},\mathbf f_{\tau};\boldsymbol\varphi)
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T)$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$, и начальному условию $\mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau}$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Ниже потребуется следующее условие преобладания матрицы $A$ старших коэффициентов системы 2-го порядка над матрицей $\mathbf B$ старших коэффициентов системы 1-го порядка:
$$
\begin{equation}
\|\mathbf B\cdot\nabla\mathbf v\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 \leqslant (1-\delta)^2\bigl[(A_{ij}\partial_j\mathbf v,\partial_i\mathbf v)_{\mathbb{R}^n}+\mu_1\|\mathbf v\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2\bigr] \quad \forall\,\mathbf v\in H^1(\mathbb{R}^n)
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
с некоторыми $0\leqslant\delta<1$, $\mu_1\geqslant 0$, где $\mathbf B\cdot\nabla\mathbf v:=B_i\partial_i\mathbf v$. Его левая часть равна $(B_j\partial_j\mathbf v,B_i\partial_i\mathbf v)_{\mathbb{R}^n}=(B_i B_j\partial_j\mathbf v,\partial_i\mathbf v)_{\mathbb{R}^n}$, и поэтому оно эквивалентно свойству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -(1-\delta)^2\mu_1\|\mathbf v\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 &\leqslant \bigl([(1-\delta)^2A_{ij}-B_iB_j]\partial_j\mathbf v,\partial_i\mathbf v\bigr)_{\mathbb{R}^n} \\ &=\bigl([(1-\delta)^2A-B]\nabla\mathbf v,\nabla\mathbf v\bigr)_{\mathbb{R}^n} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $\mathbf v\in H^1(\mathbb{R}^n)$, где $B=\mathbf B^T\mathbf B=\{B_iB_j\}_{i,j=1}^n$ – блочная матрица порядка $mn$, а $\nabla\mathbf v$ понимается как вектор-столбец $(\partial_1\mathbf v,\dots,\partial_n\mathbf v)$ длины $mn$. Свойство (3.13) с $\mu_1=0$ следует из более грубого алгебраического неравенства
$$
\begin{equation}
|\mathbf B(x,t)\cdot\mathbf w|^2 \leqslant (1-\delta)^2(A_{ij}(x,t)\mathbf w_j)\cdot \mathbf w_i \quad \forall\,\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_n\in \mathbb{R}^m \quad \text{п.в. в }\ \Pi_T
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
с тем же $\delta$ и $\mathbf B\cdot\mathbf w:=B_i\mathbf w_i$, где $\mathbf w=(\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_n)$ – вектор-столбец длины $mn$, а именно, получается его интегрированием по $\mathbb{R}^n$ при $\mathbf w_i=\partial_i\mathbf v$, $i=1,\dots,n$. Левая часть неравенства (3.14) равна $(B_j(x,t)\mathbf w_j)\cdot B_i(x,t)\mathbf w_i$, и поэтому оно эквивалентно свойству неотрицательной определенности матрицы $(1-\delta)^2A-B$:
$$
\begin{equation*}
0\,{\leqslant}\, \{[(1-\delta)^2A_{ij}-B_iB_j](x,t)\mathbf w_j\}\cdot \mathbf w_i \,{=}\, [(1-\delta)^2A-B]\mathbf w\cdot\mathbf w \quad \forall\,\mathbf w\,{\in}\, \mathbb{R}^{mn} \quad \text{п.в. в }\ \Pi_T.
\end{equation*}
\notag
$$
Подобные условия см. в [5]–[9], [11] при $0<\delta<1$ и [10], [16], [17], [27] при $\delta=0$. Введем также условие $A\leqslant c_AI_{mn}$ п.в. в $\Pi_T$, т.е.
$$
\begin{equation}
(A(x,t)\mathbf w)\cdot\mathbf w\leqslant c_A|\mathbf w|^2 \quad \forall\,\mathbf w\in \mathbb{R}^{mn} \quad \text{п.в. в }\ \Pi_T
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
с некоторым $c_A>0$, например, $c_A=n\|A\|_{L^\infty(\Pi_T)}$, где
$$
\begin{equation*}
\|A\|_{L^\infty(\Pi_T)}:=\max_{i,j=1,\dots,n}\|A_{ij}\|_{L^\infty(\Pi_T)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Укажем свойства слабого решения задачи Коши (3.10), (3.11). Теорема 3. Пусть выполнены условия (3.2), (3.4), (3.13), (3.15) и $\operatorname{div}\mathbf B$, $\partial_tA_{ij}\in L^\infty(\Pi_T)$, $A_{ij}=A_{ji}^T$, $i,j=1,\dots,n$, $0.5\operatorname{div}\mathbf B-C\leqslant c_0I_m$ п.в. в $\Pi_T$, $\mathbf y_{0\tau}\in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\mathbf y_{1\tau}\in L^2(\mathbb{R}^n)$ и $8\overline{\tau}^2\mu\leqslant 1$. Тогда существует единственное слабое решение $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ задачи Коши (3.10), (3.11) и верна энергетическая оценка Доказательство. 1. При $8\overline{\tau}^2\mu\leqslant 1$ можно ввести следующую норму пары функций $\mathbf y_0\in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\mathbf y_1\in L^2(\mathbb{R}^n)$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\{\mathbf y_0,\mathbf y_1\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)}(t) \\ &\qquad =\bigl\{\|\tau\mathbf y_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 +\|\tau\mathbf y_1+\mathbf y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 +2\tau^2\bigl(A_{ij}(\cdot,t)\partial_j\mathbf y_0(\cdot),\partial_i\mathbf y_0(\cdot)\bigr)_{\mathbb{R}^n} \bigr\}^{1/2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с параметром $0\leqslant t\leqslant T$. Для нее в силу условий (3.2) и (3.15) верна двусторонняя оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \max\biggl\{\frac12\|\mathbf y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)},\tau\sqrt{2\nu}\|\nabla\mathbf y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}, \sqrt{\frac23}\tau\|\mathbf y_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\biggr\} \\ &\qquad \leqslant\|\{\mathbf y_0,\mathbf y_1\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)} \leqslant\|\mathbf y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+\tau\sqrt{2c_A} \|\nabla\mathbf y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +2\tau\|\mathbf y_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
При $\mu_1=0$ постоянную $1/2$ можно улучшить до $1/\sqrt{2}$, а $\sqrt{2/3}$ – до 1, что позволяет улучшить и постоянные в (3.16) (см. ниже теорему 8, п. 3). Сначала выведем оценку (3.16) в качестве априорной в предположении, что $\partial_t^2\mathbf y,\partial_t\nabla\mathbf y\in L^2(\Pi_T)$. Тогда из интегрального тождества (3.12) следует тождество
$$
\begin{equation*}
\tau(\partial_t^2\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n} +(\mathcal{H}\mathbf y,\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n} =(\mathbf f_{\tau},\boldsymbol\varphi)_{\mathbb{R}^n} \quad \forall\,\boldsymbol\varphi\in H^1(\mathbb{R}^n)
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $(0,T)$, и $\partial_t\mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{1\tau}$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. По аналогии с [16; утверждение 10] подставим $\boldsymbol\varphi=2\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y=\tau\partial_t\mathbf y+(\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y)$ в последнее тождество. Справедливы формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\tau\partial_t^2\mathbf y+\partial_t\mathbf y,\tau\partial_t\mathbf y+\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} &= 0.5\partial_t\bigl[\|\tau\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\|\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2\bigr]+\tau\|\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2, \\ (\tau A_{ij}\partial_j\mathbf y,2\tau\partial_t\partial_i\mathbf y+\partial_i\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} &=\tau^2\partial_t\bigl(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad -\tau^2\bigl((\partial_tA_{ij})\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n} +\tau\bigl(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью свойства $A_{ij}=A_{ji}^T$. Отсюда следует энергетическое равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &0.5\partial_t\bigl[\|\tau\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\|\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +2\tau^2\bigl(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n}\bigr] \\ &\qquad\qquad +\tau\bigl[\|\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +2(B_i\partial_i\mathbf y,\partial_t\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} +\bigl(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n}\bigr] \\ &\qquad\qquad -\tau^2\bigl((\partial_tA_{ij})\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n} +(B_i\partial_i\mathbf y,\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} +(C\mathbf y,2\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad =(\mathbf f_\tau,2\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y)_{\mathbb{R}^n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно условию преобладания (3.13) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2|(B_i\partial_i\mathbf y,\partial_t\mathbf y)_{\mathbb{R}^n}| &\leqslant 2\|\mathbf B\cdot\nabla\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}\|\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n} \\ &\leqslant (1-\delta)\bigl[\|\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\bigl(A_{ij}\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n}+\mu_1\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия (3.2) и формулы (2.11) и далее оценки (3.17) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &0.5\partial_t\bigl(\|\{\mathbf y,\partial_t\mathbf y\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)}^2\bigr) +\delta\tau\bigl(\|\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\nu\|\nabla\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2\bigr) \\ &\qquad \leqslant \tau(\delta\mu+(1-\delta)\mu_1)\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\tau^2\bigl((\partial_tA_{ij})\partial_j\mathbf y,\partial_i\mathbf y\bigr)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad\qquad +((0.5\operatorname{div}\mathbf B-C)\mathbf y,\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} -(C\mathbf y,2\tau\partial_t\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} +(\mathbf f_\tau,2\tau\partial_t\mathbf y+\mathbf y)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad \leqslant c_{A1}\tau^2\|\nabla\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 +[\overline{\tau}(\delta\mu+(1-\delta)\mu_1)+c_0]\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}^2 \\ &\qquad\qquad +2\|C\|_{L^\infty(\Pi_T)}\|\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n}\|\tau\partial_t\mathbf y\|_{\mathbb{R}^n} +\|\mathbf f_\tau\|_{\mathbb{R}^n}(2+\sqrt{6})\|\{\mathbf y,\partial_t\mathbf y\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)} \\ &\qquad \leqslant \overline{c}_1\|\{\mathbf y,\partial_t\mathbf y\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)}^2 +4.5\|\mathbf f_\tau\|_{\mathbb{R}^n}\|\{\mathbf y,\partial_t\mathbf y\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянной $\overline{c}_1$, указанной в условии теоремы. Из полученного дифференциального неравенства стандартным образом вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\max\Bigl\{\max_{0\leqslant t\leqslant T}\|\{\mathbf y,\partial_t\mathbf y\}(\cdot,t)\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)}(t), 2\sqrt{\delta\tau}\bigl(\|\partial_t\mathbf y\|_{L^2(\Pi_T)}^2 +\nu\|\nabla\mathbf y\|_{L^2(\Pi_T)}^2\bigr)^{1/2} \Bigr\} \\ &\qquad\qquad \leqslant e^{\overline{c}_1T}\bigl(\|\{\mathbf y_{0\tau},\mathbf y_{1\tau}\}\|_{\mathcal{E}_\tau(\mathbb{R}^n)}(0) +9\|\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С привлечением неравенств (3.17) верна также априорная оценка (3.16).
2. Подобно предыдущему доказательству, для обоснования существования решения введем вспомогательную начально-краевую задачу
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{H}_\tau\mathbf y^{(k)}=\mathbf f_\tau \quad \text{в }\ \Pi_{kT}, \qquad \mathbf y^{(k)}|_{\Gamma_{kT}}=0, \qquad \mathbf y^{(k)}|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau k}, \\ \partial_t\mathbf y^{(k)}|_{t=0}=\mathbf y_{1\tau}\quad \text{в }\ \Omega_k \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
с параметром $k\geqslant 1$, где $\mathbf y_{0\tau k}\in H^1(\Omega_k)$, $\mathbf y_{0\tau k}|_{\partial\Omega_k}=0$. Пусть $\mathbf y_{0\tau k}(x)=\mathbf y_{0\tau}(x)\alpha_k(x_1)\dotsb\alpha_k(x_n)$, где функция $\alpha_k(\xi)=1$ при $|\xi|\leqslant k-1$, $\alpha_k(\xi)=0$ при $|\xi|\geqslant k$, $\alpha_k(\xi)$ линейна на $[-k,-k-1]$ и $[k-1,k]$. Тогда $\mathbf y_{0\tau k}\to\mathbf y_{0\tau}$ в $H^1(\mathbb{R}^n)$ при $k\to\infty$, а также $\|\mathbf y_{0\tau k}\|_{L^2(\Omega_k)}\leqslant\|\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n}$ и
$$
\begin{equation*}
\|\nabla\mathbf y_{0\tau k}\|_{L^2(\Omega_k)}\leqslant\|\nabla\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +\|\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\Omega_k\setminus\Omega_{k-1})}=\|\nabla\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n}+o(1).
\end{equation*}
\notag
$$
По определению слабое решение $\mathbf y^{(k)}\in W_{2,\infty}^{1,1}(\Pi_{kT})$ задачи (3.18) удовлетворяет интегральному тождеству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\tau(\partial_t\mathbf y^{(k)},\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} +(\mathcal{H}\mathbf y^{(k)},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y^{(k)},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} \\ &\qquad =(\mathbf y_{0\tau},\boldsymbol\varphi|_{t=0})_{\Omega_k} +(\mathbf f_{\tau},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_{kT}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_{kT})$, $\boldsymbol\varphi|_{\Gamma_{kT}}=0$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$, а также краевому и начальному условиям $\mathbf y^{(k)}|_{\Gamma_{kT}}=0$ и $\mathbf y^{(k)}|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau k}$ в $C(0,T;L^2(\Omega_k))$. Здесь пространства $W_{2,q}^{1,1}(\Pi_{kT})$ вводятся аналогично $W_{2,q}^{1,1}(\Pi_T)$.
Существование слабого решения $\mathbf y^{(k)}$ выводится стандартным образом методом Галеркина (см. [24; гл. IV, теорема 3.2]) (с использованием $*$-слабой сходимости приближений Галеркина и их первых производных в $L^{2,\infty}(\Pi_{kT})$ вместо их слабой сходимости в $L^2(\Pi_{kT})$). При этом сначала для приближений Галеркина, а затем предельным переходом для самого $\mathbf y^{(k)}$ вполне аналогично (3.16) доказывается оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nu_0\max\bigl\{\|\mathbf y^{(k)}\|_{C(0,T;L^2(\Omega_k))}, \tau\|\{\nabla\mathbf y^{(k)},\partial_t\mathbf y^{(k)}\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_{kT})}, \\ &\qquad\qquad \sqrt{\delta\tau}\, \|\{\partial_t\mathbf y^{(k)},\nabla\mathbf y^{(k)}\}\|_{L^2(\Pi_{kT})}\bigr\} \\ &\quad\leqslant e^{\overline{c}_1T}\bigl(\|\mathbf y_{0\tau k}\|_{L^2(\Omega_k)} +\tau\sqrt{2c_A}\, \|\nabla\mathbf y_{0\tau k}\|_{L^2(\Omega_k)} +2\tau\|\mathbf y_{1\tau}\|_{L^2(\Omega_k)} +9\|\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_{kT})}\bigr) \\ &\quad\leqslant e^{\overline{c}_1T}\bigl(\|\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n}+o(1) +\tau\sqrt{2c_A}\, \|\nabla\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +2\tau\|\mathbf y_{1\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +9\|\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Доопределим $\mathbf y^{(k)}=0$ на $\Pi_T\setminus\Pi_{kT}$. Тогда $\mathbf y^{(k)}\in W_{2,\infty}^{1,1}(\Pi_{kT})$, и в левой части (3.20) можно заменить $\Omega_k$ на $\mathbb{R}^n$, а $\Pi_{kT}$ на $\Pi_T$. В силу этой оценки существует функция $\mathbf y\in W_{2,\infty}^{1,1}(\Pi_T)$ такая, что $\mathbf y^{(k)}\to\mathbf y$, $\nabla\mathbf y^{(k)}\to \nabla\mathbf y$ и $\partial_t\mathbf y^{(k)}\to\partial_t\mathbf y$ $*$-слабо в $L^{2,\infty}(\Pi_T)$ для некоторой подпоследовательности $k=k_l\to\infty$. Для $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ верна оценка (3.16). Интегральное тождество (3.19) перепишем в виде (3.12) с $\mathbf y^{(k)}$ в роли $\mathbf y$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\tau(\partial_t\mathbf y^{(k)},\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +(\partial_t\mathbf y^{(k)}+B_i\partial_i\mathbf y^{(k)}+C\mathbf y^{(k)},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau(A_{ij}\partial_j\mathbf y^{(k)},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} \\ &\qquad =\ell(\mathbf y_{1\tau},\mathbf f_{\tau};\boldsymbol\varphi) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для тех же $\boldsymbol\varphi$, что и в (3.19), с $\boldsymbol\varphi=0$ на $\Pi_T\setminus\Pi_{kT}$. Переход в его левой части к пределу при $k=k_l\to\infty$ приводит к интегральному тождеству (3.12), в котором дополнительно $\boldsymbol\varphi$ финитна по $x$, что не ограничивает общности. Дополнительно переход к пределу при $k=k_l\to\infty$ в интегральном тождестве
$$
\begin{equation*}
-(\partial_t\mathbf y^{(k)},\boldsymbol\psi)_{\Pi_T}=(\mathbf y^{(k)},\partial_t\boldsymbol\psi)_{\Pi_T}+(\mathbf y_{0\tau k},\boldsymbol\psi_0)_{\mathbb{R}^n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol\psi,\partial_t\boldsymbol\psi\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\boldsymbol\psi|_{t=T}=0$, дает $-(\partial_t\mathbf y,\boldsymbol\psi)_{\Pi_T}=(\mathbf y,\partial_t\boldsymbol\psi)_{\Pi_T}+(\mathbf y_{0\tau},\boldsymbol\psi_0)_{\mathbb{R}^n},$ откуда $\mathbf y|_{t=0}=\mathbf y_{0\tau}$. В итоге построенная функция $\mathbf y$ является слабым решением задачи Коши (3.10), (3.11). На самом деле можно было вовсе избежать предельного перехода, если вместо него обосновать в том числе конечность скорости распространения возмущений (см. [24; гл. IV, § 2]) для слабого решения этой задачи Коши, но это не сократило бы объем доказательства.
3. Единственность слабого решения выводится с помощью известного приема (см. [24; гл. IV, теорема 3.1]), состоящего в выборе $\displaystyle\boldsymbol\varphi(x,t)=\int_t^\theta\mathbf y(x,t')\,dx\,dt'$ в $\Pi_\theta$, $\boldsymbol\varphi(x,t)=0$ в $\Pi_T\setminus\Pi_\theta$ в интегральном тождестве (3.12), где $0<\theta\leqslant T$ – параметр. Это позволяет доказать, что $\mathbf y=0$ при $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf y_{1\tau}=0$, $\mathbf f_\tau=0$. Ввиду стандартности рассуждений их детали опускаем. Теорема 3 доказана. § 4. Оценки разности решений задач Коши для гиперболической системы уравнений 1-го порядка и ее возмущений с малым параметром $\tau$Выведем сначала оценки разности решений задач Коши для гиперболической системы уравнений 1-го порядка и ее параболического возмущения. Теорема 4. 1. Пусть выполнены условия теоремы 1, пп. 1, 2 с $q=1$ и теоремы 2 и $\|A\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$. Для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\mathbf y_\tau$ решений задач Коши (2.1) и (3.1) верна оценка В частности, при $\mathbf f_\tau=\mathbf f$, $\mathbf g_\tau=0$, $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$ верна упрощенная оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}+\sqrt{\tau}\, \|\nabla\mathbf r_\tau\|_{L^2(\Pi_T)} \\ &\qquad \leqslant C(N,T)\sqrt{\tau}\, \bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{1,0}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
2. Пусть выполнены также условия теоремы 1, п. 3, a), $\|\operatorname{div} A_{\cdot j}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\,{\leqslant}\, N$, $j=1,\dots,n$, для $\operatorname{div} A_{\cdot j}:=\partial_iA_{ij}$ и снова $\mathbf f_\tau=\mathbf f$, $\mathbf g_\tau=0$, $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$. Для $\mathbf r_\tau$ верна также оценка Доказательство. 1. Согласно уравнениям (2.1) и (3.1) (точнее, см. интегральное тождество (3.5)) функция $\mathbf r_\tau$ является слабым решением задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{P}_\tau\mathbf r_\tau=\mathbf f-\mathbf f_\tau-\tau\partial_i\mathbf g_{i\tau}+(\mathcal{P}_\tau-\mathcal{H})\mathbf w =\mathbf f-\mathbf f_\tau-\tau\partial_i(\mathbf g_{i\tau}+A_{ij}\partial_j\mathbf w) \quad \text{в }\ \Pi_T, \\ \mathbf r_\tau|_{t=0}=\mathbf w_0-\mathbf y_{0\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу оценки (3.6), примененной к решению последней задачи, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \max\{\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))},\sqrt{\nu\tau}\,\|\nabla\mathbf r_\tau\|_{L^2(\Pi_T)}\} \\ &\qquad \leqslant e^{\overline{c}_0T}\bigl[\|\mathbf w_0-\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +2\|\mathbf f-\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \\ &\qquad\qquad +\sqrt{\nu^{-1}\tau}\, \|\mathbf g_\tau\|_{L^2(\Pi_T)} +\sqrt{\nu^{-1}\tau}\, \delta^{(ii)}\sqrt{T}\, \|A_{ij}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\|\partial_j\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Использовав оценку (2.6) для $\mathbf w$, выводим оценку (4.1).
2. В условиях п. 2 теоремы последнее слагаемое справа в (4.4) можно заменить на $2\tau\|\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf w)\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}$ (с суммированием по $i,j=1,\dots,n$ внутри нормы). Поскольку с помощью оценок (2.6), (2.8) для $\mathbf w$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf w)\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} &\leqslant\|A_{ij}\|_{L^\infty(\Pi_T)}T\|\partial_i\partial_j\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \\ &\qquad +\|\operatorname{div} A_{\cdot j}\|_{L^\infty(\Pi_T)}T\|\partial_j\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \\ & \leqslant C(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)}+\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,0}(\Pi_T)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
то из указанной модификации оценки (4.4) следует оценка (4.3). Теорема доказана. Отметим, что из оценки (4.3) следует не только оценка $\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}=O(\tau)$, но и оценка $\|\nabla\mathbf r_\tau\|_{L^2(\Pi_T)}=O(\sqrt{\tau})$. Выведем дополнительные оценки $\mathbf r_\tau$ дробного порядка при меньшей гладкости $\mathbf w_0$ и $\mathbf f$. Введем банаховы пространства, построенные с помощью $K_{\alpha,\infty}$-метода вещественной интерполяции банаховых пространств, $0<\alpha<1$ (см., например, [28; гл. 3])
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{H}^\alpha:=\bigl(L^2(\mathbb{R}^n),H^1(\mathbb{R}^n)\bigr)_{\alpha,\infty}, \quad \mathcal{H}^1=H^1(\mathbb{R}^n), \\ \mathcal{H}^{1+\alpha}:=\bigl(H^1(\mathbb{R}^n),H^2(\mathbb{R}^n)\bigr)_{\alpha,\infty}, \\ \mathcal{W}_{2,1}^{\alpha,0}:=\bigl(L^{2,1}(\Pi_T),W_{2,1}^{1,0}(\Pi_T)\bigr)_{\alpha,\infty}, \quad \mathcal{W}_{2,1}^{1+\alpha,0}:=\bigl(W_{2,1}^{1,0}(\Pi_T),W_{2,1}^{2,0}(\Pi_T)\bigr)_{\alpha,\infty}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5. Пусть для простоты $\mathbf f_\tau=\mathbf f$, $\mathbf g_\tau=0$, $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$. 1. Пусть выполнены условия теоремы 4, п. 1 на матрицы-коэффициенты. Тогда для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\mathbf y_\tau$ решений задач Коши (2.1) и (3.1) верна оценка
$$
\begin{equation}
\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \leqslant C(N,T)\tau^{\alpha/2} \bigl(\|\mathbf w_0\|_{\mathcal{H}^{\alpha}}+\|\mathbf f\|_{\mathcal{W}_{2,1}^{\alpha,0}}\bigr), \qquad 0<\alpha<1.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
2. Пусть выполнены все условия теоремы 4 на матрицы-коэффициенты. Тогда для $\mathbf r_\tau$ при $1<\alpha<2$ верна также оценка
$$
\begin{equation}
\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}+\sqrt{\tau}\|\nabla\mathbf r_\tau\|_{L^2(\Pi_T)} \leqslant C(N,T)\tau^{\alpha/2} \bigl(\|\mathbf w_0\|_{\mathcal{H}^{\alpha}}+\|\mathbf f\|_{\mathcal{W}_{2,1}^{\alpha,0}}\bigr).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В этих оценках и аналогичных оценках ниже автоматически предполагается, что $\mathbf w_0$ и $\mathbf f$ принадлежат тем пространствам, в нормах которых они стоят. Доказательство. Из оценок (2.5) для $\mathbf w$ и (3.6) для $\mathbf y_\tau$ следует оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} & \leqslant \|\mathbf w\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}+\|\mathbf y_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \\ & \leqslant C(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{\mathbb{R}^n}+\|\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Применение теоремы об интерполяции линейных операторов (см. [28; теорема 3.1.2]) к оценкам (4.8) и (4.2) (с опущенным вторым слагаемым слева) для $\mathbf r_\tau$, подробнее говоря, к соответствующему оператору
$$
\begin{equation}
\mathbf r_\tau=R(\mathbf w_0,\mathbf f)\colon X_p\to C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n)),\qquad p=0,1,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $X_0=L^2(\mathbb{R}^n)\times L^{2,1}(\Pi_T)$, $X_1=H^1(\mathbb{R}^n)\times W_{2,1}^{1,0}(\Pi_T)$, приводит к оценке (4.6). Аналогично, применение этой теоремы к оценкам (4.2) и (4.3) приводит к оценке (4.7). Теорема доказана. Перейдем к оценкам разности решений задач Коши для гиперболической системы уравнений 1-го порядка и ее гиперболического 2-го порядка возмущения. Теорема 6. Пусть выполнены все условия теоремы 1 с $q=1$ и теоремы 3, а также $\|A\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$, $\|\operatorname{div} A_{\cdot j}\|_{L^\infty(\Pi_T)}\leqslant N$, $j=1,\dots,n$. Для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\mathbf y_\tau$ решений задач Коши (2.1) и (3.10), (3.11) верна оценка В частности, при $\mathbf f_\tau=\mathbf f$, $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$ и $\|\mathbf y_{1\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leqslant C_1(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)}+\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,1}(\Pi_T)}\bigr)$ (например, при $\mathbf y_{1\tau}=0$ или $\mathbf y_{1\tau}=(\partial_t\mathbf w)_0\equiv(\partial_t\mathbf w)|_{t=0}$) верна упрощенная оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}+\tau\|\{\nabla\mathbf r_\tau,\partial_t\mathbf r_\tau\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} +\sqrt{\delta\tau}\, \|\{\nabla\mathbf r_\tau,\partial_t\mathbf r_\tau\}\|_{L^2(\Pi_T)} \\ &\qquad \leqslant C_2(N,T)\tau\bigl( \|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)} +\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,1}(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Доказательство. В условиях теоремы согласно уравнениям (2.1) и (3.10), (3.11) (см. интегральное тождество (3.12)) функция $\mathbf r_\tau$ является слабым решением задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{H}_\tau\mathbf r_\tau=\mathbf f-\mathbf f_\tau+(\mathcal{H}_\tau-\mathcal{H})\mathbf w =\mathbf f-\mathbf f_\tau+\tau[\partial_t^2\mathbf w-\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf w)] \quad \text{в }\ \Pi_T, \\ \mathbf r_\tau|_{t=0}=\mathbf w_0-\mathbf y_{0\tau}, \quad \partial_t\mathbf r_\tau|_{t=0}=(\partial_t\mathbf w)_0-\mathbf y_{1\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (3.16) в применении к решению этой задачи дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nu_0 \max\bigl\{\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}, \tau\|\{\nabla\mathbf r_\tau,\partial_t\mathbf r_\tau\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}, \sqrt{\delta\tau}\, \|\{\partial_t\mathbf r_\tau,\nabla\mathbf r_\tau\}\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr\} \\ &\qquad\leqslant e^{\overline{c}_1T}\bigl\{\|\mathbf w_0-\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +\tau\sqrt{2c_A}\, \|\nabla(\mathbf w_0-\mathbf y_{0\tau})\|_{\mathbb{R}^n} +2\tau\|(\partial_t\mathbf w)_0-\mathbf y_{1\tau}\|_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad\qquad +9\bigl[\|\mathbf f-\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} +\tau\|\partial_t^2\mathbf w-\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf w)\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr]\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \tau\|\nabla(\mathbf w_0-\mathbf y_{0\tau})\|_{\mathbb{R}^n} +2\tau\|(\partial_t\mathbf w)_0-\mathbf y_{1\tau}\|_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad\leqslant \tau\bigl(\|\mathbf y_{0\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +2\|\mathbf y_{1\tau}\|_{\mathbb{R}^n} +\|\nabla\mathbf w_0\|_{\mathbb{R}^n}+2\|(\partial_t\mathbf w)_0\|_{\mathbb{R}^n} \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью оценок (2.9) с $q=1$ и (4.5) для $\mathbf w$ имеем также
$$
\begin{equation*}
\|\partial_t^2\mathbf w-\partial_i(A_{ij}\partial_j\mathbf w)\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \leqslant C(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)} +\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив в (4.12) две последние оценки и воспользовавшись тем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|(\partial_t\mathbf w)_0\|_{\mathbb{R}^n} &=\|-(B_i)_0\partial_i\mathbf w_0-C_0\mathbf w_0+\mathbf f_0\|_{\mathbb{R}^n} \\ &\leqslant C(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)}+\|\{\mathbf f,\partial_t\mathbf f\}\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
выведем заявленную оценку (4.10). Оценка (4.13) обосновывает и указанную в условии оценку $\mathbf y_{1\tau}$ для $\mathbf y_{1\tau}=(\partial_t\mathbf w)_0$. Теорема доказана. Оценка (4.10) при $\mathbf y_{0\tau}\neq\mathbf w_0$ применяется ниже в теореме 7. Кроме того, имеет свои приложения случай $\mathbf f_\tau\neq\mathbf f$ (см. [29]). Из оценки (4.11) следует не только то, что $\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}=O(\tau)$, но и $\sqrt{\delta}\, \|\{\partial_t\mathbf r_\tau,\nabla\mathbf r_\tau\}\|_{L^2(\Pi_T)}=O(\sqrt{\tau})$. Слагаемое с множителем $\tau$ в левой части полученных оценок также небесполезно. Например, в случае $n=1$ из оценки (4.11) в силу неравенства $\|v\|_{L^\infty(\mathbb{R})}\leqslant c\|v\|_{L^2(\mathbb{R})}^{1/2}\|v\|_{H^1(\mathbb{R})}^{1/2}$ и свойства $\mathbf w,\mathbf y_\tau\in C(\overline{\Pi}_T)$ следует оценка в равномерной норме
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf r_\tau\|_{C_b(\overline{\Pi}_T)}:=\sup_{\overline{\Pi}_T}|\mathbf r_\tau(x,t)| \leqslant C(N,T)\bigl(1+\sqrt{\overline{\tau}}\bigr)\sqrt{\tau}\, \bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)}+\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Выведем дополнительные оценки дробного порядка при меньшей гладкости $\mathbf w_0$ и $\mathbf f$. Введем простейшее усреднение по Стеклову с шагом $\tau>0$ по $x_1,\dots,x_n$
$$
\begin{equation*}
(\overline{\sigma}^{(\tau)}v)(x):=\frac{1}{\tau^n}\int_{(-\tau/2,\tau/2)^n} v(x+\xi)\,d\xi \quad \forall\, v\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)
\end{equation*}
\notag
$$
(можно брать и другие усреднения, включая $\sigma^{(\tau)}$) и пространства $\mathcal{W}_{2,1}^{2\alpha,\alpha}:=\bigl(L^{2,1}(\Pi_T),W_{2,1}^{2,1}(\Pi_T)\bigr)_{\alpha,\infty}$, построенные с помощью $K_{\alpha,\infty}$-метода вещественной интерполяции, $0<\alpha\leqslant 1$. Теорема 7. Пусть выполнены все условия теоремы 6 на матрицы-коэффициенты, $\mathbf y_{0\tau}=\overline{\sigma}^{(\tau)}\mathbf w_0$ и для простоты $\mathbf f_\tau=\mathbf f$ и $\mathbf y_{1\tau}=0$. Для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\mathbf y_\tau$ решений задач Коши (2.1) и (3.10), (3.11) верна оценка Доказательство. Известны оценки для усреднений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\overline{\sigma}^{(\tau)} v\|_{\mathbb{R}^n}+\tau\|\nabla \overline{\sigma}^{(\tau)} v\|_{\mathbb{R}^n} \leqslant c\|v\|_{\mathbb{R}^n}, \\ \|v-\overline{\sigma}^{(\tau)} v\|_{\mathbb{R}^n}\leqslant\tau c\|\nabla v\|_{\mathbb{R}^n}, \quad \|\nabla \overline{\sigma}^{(\tau)} v\|_{\mathbb{R}^n}\leqslant c\|\nabla v\|_{\mathbb{R}^n} \quad \forall\, v\in H^1(\mathbb{R}^n). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
С помощью первой из них в силу теоремы 3 при $\mathbf y_{1\tau}=0$ и $\mathbf f_\tau=\mathbf f$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf y_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \leqslant C(N,T)\bigl(\|\mathbf w_0\|_{\mathbb{R}^n}+\|\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому здесь оценка (4.8) сохраняет силу. Из оценки (4.10) по свойствам усреднений (4.15) в условиях данной теоремы следует оценка
$$
\begin{equation*}
\|\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \leqslant C(N,T)\tau\bigl(\|\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)}+\|\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применение теоремы об интерполяции линейных операторов к оценке (4.8) и последней оценке $\mathbf r_\tau$, с учетом вложения $H^1(\mathbb{R}^n)$ в $\bigl(L^2(\mathbb{R}^n),H^2(\mathbb{R}^n)\bigr)_{1/2,\infty}$ (см. [28; п. 6.2]), приводит к заявленной оценке (4.14) для $\mathbf r_\tau$. Теорема доказана. В частности, согласно (4.14) при $\mathbf w_0\in H^1(\mathbb{R}^n)$ и $\mathbf f\in \mathcal{W}_{2,1}^{1,1/2}$ имеем оценку $O(\sqrt{\tau})$, ср. с (4.1). В рамках данного выше доказательства теоремы 6 ее вывести нельзя. Оценки теорем 6, 7 родственны полученным в иных условиях и другим методом в [10]. При $0<\alpha<2$, $\alpha\neq 1$ пространство $\mathcal{H}^{\alpha}$ совпадает с пространством Никольского $H_2^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ (с точностью до эквивалентности норм); см. [28; п. 6.2]. Посредством аппроксимации функций из пространств Никольского их усреднениями можно убедиться, что
$$
\begin{equation*}
H_{2,1}^{\alpha,0}(\Pi_T)\subset \mathcal{W}_{2,1}^{\alpha,0}, \quad H_{2,1}^{\alpha,\alpha/2}(\Pi_T)\subset \mathcal{W}_{2,1}^{\alpha,\alpha/2}, \qquad 0<\alpha<2, \quad \alpha\neq 1;
\end{equation*}
\notag
$$
аналогично, $WH_{2,1}^{1,1/2}(\Pi_T):=\{v\in H_{2,1}^{0,1/2}(\Pi_T),\nabla v\in L^{2,1}(\Pi_T)\}\subset \mathcal{W}_{2,1}^{1,1/2}$ (случай $\alpha=1$), ср. с [15; п. 6.10], [30; гл. 1, § 2]. Кроме того, пространство $H_2^{1/2}(\mathbb{R}^n)$ содержит $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^n)\cap L^\infty(\mathbb{R}^n)$, где $\mathrm{BV}(\mathbb{R}^n)$ – пространство функций ограниченной вариации на $\mathbb{R}^n$ (см., например, [31; гл. 37, 38]). Аналогично, пространство $H_{2,1}^{1/2,1/4}(\Pi_T)$ заведомо содержит пространство $\mathrm{BV}(\Pi_T)\cap L^\infty(\Pi_T)$, что следует из элементарной оценки
$$
\begin{equation*}
|\xi|^{-1/2}\|\Delta_\xi f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)} \leqslant \bigl(T|\xi|^{-1}\|\Delta_\xi f\|_{L^1(\Pi_T)}\bigr)^{1/2}(2\|f\|_{L^\infty(\Pi_T)})^{1/2}, \qquad \xi\neq 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичной оценки разности $f(\cdot,t+\theta)-f(\cdot,t)$. Это позволяет охватить важный для приложений широкий класс разрывных функций $\mathbf w_0$ и $\mathbf f$ и обеспечивает для них оценку $O(\tau^{1/4})$ в (4.6) и (4.14) при $\alpha=1/2$. Для обоснования последнего существенно было использование именно $K_{\alpha,\theta}$-метода вещественной интерполяции с $\theta=\infty$ и пространств $H_2^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$, как самых широких в семействе пространств Бесова $B_{2,\theta}^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ и отвечающих $\theta=\infty$. § 5. Оценки производных любого порядка по $x$ решений рассматриваемых систем и их разностейВ этом параграфе ограничимся случаем, когда матрицы $\mathbf B,C,A\in L^\infty(0,T)$ не зависят от $x$ и $-C\leqslant c_0I_m$ п.в. на $(0,T)$. Он существен в следующем параграфе и позволяет уточнить и заметно упростить формулировку результатов и их вывод из предыдущих теорем, хотя принципиальным это ограничение не является. Введем производную по Соболеву по $x$ любого порядка
$$
\begin{equation*}
\partial^{\mathbf k}=\partial_1^{k_1}\dotsb \partial_n^{k_n},\qquad \mathbf k=(k_1,\dots,k_n),\qquad |\mathbf k|_1=k_1+\dots+k_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть ниже $\mathbf k$ с $|\mathbf k|_1\geqslant 1$ и $1\leqslant q\leqslant\infty$ любые. Теорема 8. 1. a) Пусть $\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf w_0\in L^2(\mathbb{R}^n)$. Тогда для слабого решения $\mathbf w$ задачи Коши (2.1) верна оценка Подробнее говоря, оценка (5.1) означает, что если $\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0\in L^2(\mathbb{R}^n)$, $\partial^{\mathbf k}\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, то существует $\partial^{\mathbf k}\mathbf w\in C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$ и верна указанная оценка. Для краткости формулировок все оценки в этой теореме и теоремах 9, 10 ниже понимаются аналогичным образом. b) Пусть $p=1,2$. Если $\mathbf f,\nabla^p\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf w_0\in H^p(\mathbb{R}^n)$, то для сильного решения $\mathbf w$ задачи Коши (2.1) верны оценки
$$
\begin{equation}
\|\partial^{\mathbf k}\nabla^p\mathbf w\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)} \leqslant ce^{c_0T}\bigl(\|\partial^{\mathbf k}\nabla^p\mathbf w_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +\|\partial^{\mathbf k}\nabla^p\mathbf f\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Если также $\|\{\mathbf B,C\}\|_{L^\infty(0,T)}\leqslant N$, то при $p=1,2$ соответственно верны оценки
$$
\begin{equation}
\|\partial_t\partial^{\mathbf k}\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant cNe^{c_0T}T^{1/q}\bigl(\|\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0\|_{H^1(\mathbb{R}^n)} +\|\partial^{\mathbf k}\mathbf f\|_{W_{2,1}^{1,0}(\Pi_T)}\bigr) +\|\partial^{\mathbf k}\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|\partial_t\nabla\partial^{\mathbf k}\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant cNe^{c_0T}T^{1/q}\bigl(\|\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)} +\|\partial^{\mathbf k}\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,0}(\Pi_T)}\bigr)+\|\partial^{\mathbf k}\nabla\mathbf f\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Если $p=2$ и дополнительно $\|\{\partial_t\mathbf B,\partial_tC\}\|_{L^\infty(0,T)}\leqslant N$, $\partial_t\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, то верна оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\partial_t^2\partial^{\mathbf k}\mathbf w\|_{L^{2,q}(\Pi_T)} &\leqslant cN^2e^{c_0T}T^{1/q}\bigl(\|\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0\|_{H^2(\mathbb{R}^n)} +\|\partial^{\mathbf k}\mathbf f\|_{W_{2,1}^{2,0}(\Pi_T)}\bigr) \\ &\qquad +cN\|\partial^{\mathbf k}\{\mathbf f,\nabla\mathbf f,\partial_t\mathbf f\}\|_{L^{2,q}(\Pi_T)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
2. Пусть выполнены условия (3.2) с $\mu=0$, $\mathbf f_\tau\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf g_\tau\in L^2(\Pi_T)$, $\mathbf y_{0\tau}\in L^2(\mathbb{R}^n)$. Тогда для слабого решения $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ задачи Коши (3.1) верна оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\max\bigl\{\|\partial^{\mathbf k}\mathbf y_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}, \sqrt{\nu\tau}\, \|\nabla\partial^{\mathbf k}\mathbf y_\tau\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr\} \\ &\qquad \leqslant e^{c_0T}\bigl(\|\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +2\|\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}+\sqrt{\nu^{-1}\tau}\, \|\partial^{\mathbf k}\mathbf g_\tau\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
3. Пусть выполнены условия (3.2) с $\mu=0$, (3.13) с $\mu_1=0$, (3.15) и $\partial_tA_{ij}\in L^\infty(0,T)$, $A_{ij}=A_{ji}^T$, $i,j=1,\dots,n$, а также $\mathbf f_\tau\in L^{2,1}(\Pi_T)$, $\mathbf y_{0\tau}\in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\mathbf y_{1\tau}\in L^2(\mathbb{R}^n)$. Тогда для слабого решения $\mathbf y=\mathbf y_\tau$ задачи Коши (3.10), (3.11) верна оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nu_1\max\bigl\{\|\partial^{\mathbf k}\mathbf y_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}, \tau\|\partial^{\mathbf k}\{\nabla\mathbf y_\tau,\partial_t\mathbf y_\tau\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}, \\ &\qquad\qquad\sqrt{\delta\tau}\, \|\partial^{\mathbf k}\{\partial_t\mathbf y_\tau,\nabla\mathbf y_\tau\}\|_{L^2(\Pi_T)}\bigr\} \\ &\leqslant e^{c_1T}\bigl(\|\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \\ &\qquad +\tau\sqrt{2c_A}\, \|\nabla\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +2\tau\|\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{1\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +2\sqrt{2}\, \|\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $\nu_1=\min\{\sqrt{2\nu},1/\sqrt{2}\}$, $c_1=\max\bigl\{2\bigl(c_0+\sqrt{2}\, \|C\|_{ L^\infty(0,T)}\bigr),(2\nu)^{-1}c_{A1}\bigr\}$, а $c_{A1}\geqslant 0$ прежнее. Доказательство. По условию $\mu=\mu_1=0$, поэтому $\overline{c}_0=c_0$ в (3.6), а постоянные в оценке (3.16) можно уточнить следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\nu_1\max\bigl\{\|\mathbf y_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}, \tau\|\{\nabla\mathbf y_\tau,\partial_t\mathbf y_\tau\}\|_{L^{2,\infty}(\Pi_T)}, \sqrt{\delta\tau}\, \|\{\partial_t\mathbf y_\tau,\nabla\mathbf y_\tau\}\|_{L^2(\Pi_T)} \bigr\} \\ &\leqslant e^{c_1T}\bigl(\|\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +\tau\sqrt{2c_A} \|\nabla\mathbf y_{0\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +2\tau\|\mathbf y_{1\tau}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +2\sqrt{2}\|\mathbf f_\tau\|_{L^{2,1}(\Pi_T)}\bigr) , \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $\nu_1$ и $c_1$ выписаны выше, а условие $8\overline{\tau}^2\mu\leqslant 1$ исчезает. В усреднении (2.10) теперь возьмем гладкое ядро $\widehat{e}\in C^\infty(\mathbb{R})$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{e}(a)>0 \quad \text{при }\ |a|<1, \qquad \widehat{e}(a)=0 \quad \text{при }\ |a|\geqslant 1, \\ \widehat{e}(a)=\widehat{e}(-a), \qquad \int_{\mathbb{R}}\widehat{e}(a)\,da=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В условиях пп. 1, 2, 3 функции $\sigma^{(h)}\mathbf w(\cdot,t)$ и $\sigma^{(h)}\mathbf y(\cdot,t)$ принадлежат $C^\infty(\mathbb{R}^n)$ для всех $0\leqslant t\leqslant T$ и являются сильными решениями задач Коши соответственно
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\sigma^{(h)}\mathbf w=\sigma^{(h)}\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \sigma^{(h)}\mathbf w\big|_{t=0}=\sigma^{(h)}\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_\tau\sigma^{(h)}\mathbf y=\sigma^{(h)}\mathbf f_\tau+\tau\partial_i\sigma^{(h)}\mathbf g_{i\tau} \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \sigma^{(h)}\mathbf y\big|_{t=0}=\sigma^{(h)}\mathbf y_{0\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{H}_\tau\sigma^{(h)}\mathbf y=\sigma^{(h)}\mathbf f_\tau \quad \text{в }\ \Pi_T, \\ \sigma^{(h)}\mathbf y\big|_{t=0}=\sigma^{(h)}\mathbf y_{0\tau}, \quad \sigma^{(h)}\partial_t\mathbf y\big|_{t=0}=\sigma^{(h)}\mathbf y_{1\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Для первой задачи в п. 1, a) это следует из п. b) доказательства теоремы 1 (а в п. 1, b) это очевидно); для двух других задач это выводится аналогично, включая свойства $\partial_t\sigma^{(h)}\mathbf y\in L^{2,1}(\Pi_T)$ и $\partial_t^2\sigma^{(h)}\mathbf y\in L^{2,1}(\Pi_T)$ соответственно. По определению сильные решения последних двух задач удовлетворяют уравнениям в $L^{2,1}(\Pi_T)$ и начальным условиям в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Дополнительно имеем $\partial_t^l\sigma^{(h)}\mathbf y(\cdot,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ п.в. на $(0,T)$, где $l=1$ для задачи (5.10) либо $l=1,2$ для задачи (5.11).
В условиях пп. 1, 2, 3 применение к задачам Коши (5.9)–(5.11) оператора $\partial^{\mathbf k}$ дает соответственно
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf w=\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf w\big|_{t=0} =\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{P}_\tau\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf y =\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau+\tau\partial_i\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf g_{i\tau} \quad \text{в }\ \Pi_T, \\ \partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf y\big|_{t=0} =\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_\tau\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf y=\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau \quad \text{в }\ \Pi_T,
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
$$
\begin{equation}
\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf y\big|_{t=0} =\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}, \quad \partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\partial_t\mathbf y\big|_{t=0} =\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{1\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Более того, $\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf f\to\partial^{\mathbf k}\mathbf f, \sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau\to\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau$ в $L^{2,1}(\Pi_T)$, $\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf g_\tau\to\partial^{\mathbf k}\mathbf g_\tau$ в $L^2(\Pi_T)$ и $\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}\to \partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}$ в $H^{l-1}(\mathbb{R}^n)$, $\sigma^{(h)}\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{1\tau}\to \partial^{\mathbf k}\mathbf y_{1\tau}$ в $L^2(\mathbb{R}^n)$ при $h\to 0$. В силу оценок (2.5), (3.6), (5.8) для решений задач Коши имеем $\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf w\to\mathbf w^{(\mathbf k)}$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$, $\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf y\to\mathbf y^{(\mathbf k)}$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))\cap V_2(\Pi_T)$ (для $l=1$) либо в $W_{2,\infty}^{1,1}(\Pi_T)$ (для $l=2$) при $h\to 0$. Предельные функции $\mathbf w^{(\mathbf k)}$ в роли $\partial^{\mathbf k}\mathbf w$ и $\mathbf y^{(\mathbf k)}$ в роли $\partial^{\mathbf k}\mathbf y$ удовлетворяют оценкам (5.1), (5.6) (для $l=1$), (5.7) (для $l=2$).
Переход к пределу в интегральных тождествах – определениях слабых решений задач Коши (5.12), (5.13) и (5.14), (5.15) – показывает, что $\mathbf w^{(\mathbf k)}$ и $\mathbf y^{(\mathbf k)}$ являются слабыми решениями соответствующих задач Коши
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}\mathbf w^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf w^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}_\tau\mathbf y^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau+\tau\partial_i\partial^{\mathbf k}\mathbf g_{i\tau} \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf y^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_\tau\mathbf y^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf f_\tau \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf y^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{0\tau}, \quad \partial_t\mathbf y^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\partial^{\mathbf k}\mathbf y_{1\tau} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Переход к пределу в определении производной по Соболеву
$$
\begin{equation*}
(\sigma^{(h)}\mathbf w,\partial^{\mathbf k}\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}=(-1)^{|\mathbf k|_1}(\partial^{\mathbf k}\sigma^{(h)}\mathbf w,\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol\varphi\in C^\infty(\Pi_T)$, $\boldsymbol\varphi$ финитна в $\Pi_T$, дает $ (\mathbf w,\partial^{\mathbf k}\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}=(-1)^{|\mathbf k|_1}(\partial^{\mathbf k}\mathbf w^{(\mathbf k)},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}, $ т.е. существует производная $\partial^{\mathbf k}\mathbf w=\mathbf w^{(\mathbf k)}$. Точно так же существует $\partial^{\mathbf k}\mathbf y=\mathbf y^{(\mathbf k)}$. Этим завершается вывод оценок (5.1), (5.6), (5.7).
Выведем оценки п. 1, b). Оценка (5.2) следует из оценки (5.1) после замены $\partial^{\mathbf k}$ на $\partial_i\partial^{\mathbf k}$ и $\partial_i\partial_j\partial^{\mathbf k}$ и суммирования по $i,j=1,\dots,n$. В силу уравнения в (5.16) с $\mathbf w^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf w$ производные $\partial_t^l\partial^{\mathbf k}\mathbf w$, $l=1,2$, можно последовательно выразить через производные $\nabla^p\partial^{\mathbf k}\mathbf w$, $p=0,l$, и производные $\mathbf f$ (подобно доказательству теоремы 1, пп. c) и d), поэтому оценки (5.3), (5.5) следуют из (5.1), (5.2). Наконец, при $p=2$ опять-таки в силу уравнения в (5.16) существует $\nabla\partial_t\mathbf w^{(\mathbf k)}=-B_i\nabla\partial_i\mathbf w^{(\mathbf k)}-C\nabla\mathbf w^{(\mathbf k)}+\nabla\partial^{\mathbf k}\mathbf f\in L^{2,1}(\Pi_T)$, и оценка (5.4) следует из (5.2). Теорема 8 доказана. Оценки последней теоремы верны и при $|\mathbf k|_1=0$, когда $\partial^{\mathbf k}v=v$. Перейдем к оценкам производных разностей решений рассматриваемых систем. Для краткости ограничимся простейшим выбором $\mathbf f_\tau$, $\mathbf g_\tau$, $\mathbf y_{0\tau}$, $\mathbf y_{1\tau}$. При $|\mathbf k|_1=0$ это будут те же оценки, что и выше, но с уточненными постоянными. Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 8, пп. 1, 2, кроме условий на $\partial_t\mathbf f$ и $\partial_t\mathbf B,\partial_tC$, и $\|A\|_{L^\infty(0,T)}\leqslant N$. Пусть $\mathbf f_\tau=\mathbf f$, $\mathbf g_\tau=0$, $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$ и $|\mathbf k|_1\geqslant 0$. Тогда для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\mathbf y_\tau$ решений задач Коши (2.1) и (3.1) верны оценки Доказательство. По условию и согласно теореме 8, п. 1 с $q=1$ и п. 2 и уравнениям (5.16), (5.17), функции $\mathbf w^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf w$ и $\mathbf y_\tau^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf y_\tau$ являются слабыми решениями задач Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{H}\mathbf w^{(\mathbf k)}=\mathbf f^{(\mathbf k)} \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf w^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\mathbf w_0^{(\mathbf k)} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n, \\ \mathcal{P}_\tau\mathbf y_\tau^{(\mathbf k)}=\mathbf f^{(\mathbf k)} \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf y_\tau^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\mathbf w_0^{(\mathbf k)} \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с $\mathbf f^{(\mathbf k)}:=\partial^{\mathbf k}\mathbf f$, $\mathbf w_0^{(\mathbf k)}:=\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0$. Поэтому для их разности $\mathbf r_\tau^{(\mathbf k)}:=\mathbf w^{(\mathbf k)}-\mathbf y_\tau^{(\mathbf k)}=\partial^{\mathbf k}\mathbf r_\tau$ в роли $\mathbf r_\tau$ просто верны оценки (4.2), (4.3), (4.6), (4.7) с $\mathbf f^{(\mathbf k)}$ в роли $\mathbf f$ и $\mathbf w_0^{(\mathbf k)}$ в роли $\mathbf w_0$. Более того, из их доказательств благодаря оценкам (5.1), (5.2) и (5.6) из теоремы 8 нетрудно видеть, что в условиях данной теоремы постоянные в них можно уточнить так, как выписано выше. Теорема доказана. Теорема 10. Пусть выполнены все условия теоремы 8, п. 1 с $q=1$ и п. 3, а также $\|A\|_{L^\infty(0,T)}\leqslant N$. Пусть $\mathbf f_\tau=\mathbf f$, $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$, $\mathbf y_{1\tau}=0$ и $|\mathbf k|_1\geqslant 0$. Тогда для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\mathbf y_\tau$ решений задач Коши (2.1) и (3.10), (3.11) верна оценка При $\mathbf y_{0\tau}=\overline{\sigma}^{(\tau)}\mathbf w_0$ (вместо $\mathbf y_{0\tau}=\mathbf w_0$) и $0<\alpha\leqslant 2$ верна также оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|\partial^{\mathbf k}\mathbf r_\tau\|_{C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))} \\ &\qquad \leqslant cN^\alpha \exp\biggl(\biggl(\frac{\alpha c_0}2+c_1\biggr)T\biggr)[(T+1)\tau]^{\alpha/2} \bigl(\|\partial^{\mathbf k}\mathbf w_0\|_{\mathcal{H}^\alpha}+\|\partial^{\mathbf k}\mathbf f\|_{\mathcal{W}_{2,1}^{\alpha,\alpha/2}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство данной теоремы аналогично предыдущему, с использованием теоремы 8, п. 1 с $q=1$, п. 3 и задачи Коши (5.18), а также теорем 6, 7 для задачи Коши (3.10), (3.11). При этом из формулы $\mathbf y_{0\tau}=\overline{\sigma}^{(\tau)}\mathbf w_0$ следует, что $\mathbf y_\tau^{(\mathbf k)}\big|_{t=0}=\overline{\sigma}^{(\tau)}\mathbf w_0^{(\mathbf k)}$. Уточнение вида постоянных в оценках вытекает из доказательств теорем 6, 7 благодаря оценкам (5.1), (5.2), (5.5) и (5.7). Важно, что при $c_0=0$, т.е. $C\geqslant 0$ п.в. на $(0,T)$, и $c_1=0$, т.е. $C=0$, $\partial_tA\geqslant 0$ п.в. на $(0,T)$ (случай, изучаемый в следующем параграфе), постоянные в соответствующих оценках теорем 8–10 ограничены или имеют степенной, а не экспоненциальный, рост по $T$. Поскольку каждую из полученных в теоремах 8–10 оценок можно просуммировать по всем $\mathbf k$ с $|\mathbf k|_1=p$, то верны аналогичные оценки с заменой в их левых и правых частях $\partial^{\mathbf k}$ на $\nabla^p$ с любым $p\geqslant 1$. В частности, из модифицированных таким образом оценок $\mathbf r_\tau$ (и исходных оценок с $\mathbf k=0$) при $p>n/2$ в силу теоремы вложения Соболева (см., например, [32; теорема 1.2.1]) следуют оценки в равномерной норме $\|\mathbf r_\tau\|_{C_b(\overline{\Pi}_T)}$ всех выписанных в теоремах 9, 10 порядков. Полученные выше оценки производных $\partial^{\mathbf k}\mathbf v$ для $\mathbf v=\mathbf w,\mathbf y_\tau,\mathbf r_\tau$ можно дополнить оценками производных $\partial_t^s\partial^{\mathbf k}\mathbf v$, $s\geqslant 1$, $|\mathbf k|_1\geqslant 0$, но на этом останавливаться не будем. § 6. Линеаризованные квазигазодинамические системы уравнений и система уравнений газовой динамикиЛинеаризованные на постоянном решении квазигазодинамические (КГД) системы уравнений запишем относительно нормированного (безразмерного) вектора малых возмущений $\widetilde{\mathbf z}(x,t):=(\widetilde{\rho},\widetilde{\mathbf u},\widetilde{\varepsilon})(x,t)$ плотности, скорости и удельной внутренней энергии газа, причем $\widetilde{\mathbf u}=(\widetilde{u}_1,\dots,\widetilde{u}_n)$, $n=1,2,3$. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений $(\ell+1)$-го порядка по $t$ и 2-го порядка по $x$ с постоянными коэффициентами (см. [16], [17]), где $\ell=0$ для параболической и $\ell=1$ для гиперболической КГД систем:
$$
\begin{equation}
\ell\tau\partial_t^2\widetilde{\rho} +\partial_t\widetilde{\rho}+c_*\biggl(\mathbf M\nabla\widetilde{\rho}+\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\operatorname{div}\widetilde{\mathbf u}\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad =\tau c_*^2\biggl[\frac{1}{\gamma}\Delta\widetilde{\rho}+(\mathbf M\nabla)\mathbf M\nabla\widetilde{\rho} +\frac{2}{\sqrt{\gamma}}(\mathbf M\nabla)\operatorname{div}\widetilde{\mathbf u} +\frac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}\Delta\widetilde{\varepsilon}\biggr]+f_{0\tau},
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
$$
\begin{equation}
\ell\tau\partial_t^2\widetilde{\mathbf u} +\partial_t\widetilde{\mathbf u}+c_*\biggl(\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\nabla\widetilde{\rho}+(\mathbf M\nabla)\widetilde{\mathbf u} +\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\nabla\widetilde{\varepsilon}\biggr) =\tau c_*^2\biggl[\frac{2}{\sqrt{\gamma}}(\mathbf M\nabla)\nabla\widetilde{\rho}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad +\widehat{\alpha}_s\Delta\widetilde{\mathbf u}+(\widehat{a}_0+1)\nabla\operatorname{div}\widetilde{\mathbf u}+(\mathbf M\nabla)(\mathbf M\nabla)\widetilde{\mathbf u} +\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}(\mathbf M\nabla)\nabla\widetilde{\varepsilon}\biggr]+\widetilde{\mathbf f}_\tau,
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$$
\begin{equation}
\ell\tau\partial_t^2\widetilde{\varepsilon}+\partial_t\widetilde{\varepsilon}+c_*\biggl(\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\operatorname{div}\widetilde{\mathbf u}+\mathbf M\nabla\widetilde{\varepsilon}\biggr) =\tau c_*^2\biggl[\frac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}\Delta\widetilde{\rho}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad +\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}(\mathbf M\nabla)\operatorname{div}\widetilde{\mathbf u} +\biggl(\widehat{\alpha}_P+\frac{1}{\gamma_*}\biggr)\Delta\widetilde{\varepsilon} +(\mathbf M\nabla)\mathbf M\nabla\widetilde{\varepsilon}\biggr]+f_{(n+1)\tau}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
в $\Pi_T$ (в коэффициенте первого слагаемого справа в (6.2) исправлена опечатка). Свободные члены $f_{0\tau}(x,t)$, $\widetilde{\mathbf f}_\tau(x,t)$, $f_{(n+1)\tau}(x,t)$ вместо нулей дописаны формально для общности последующего анализа. Здесь $c_*>0$ – фоновая скорость звука, $\mathbf M=(M_1,\dots,M_n)$ – нормированная на $c_*$ фоновая скорость и поэтому $M=|\mathbf M|$ – фоновое число Маха, а также
$$
\begin{equation*}
\mathbf M\nabla=\mathbf M\cdot\nabla, \qquad \gamma_*=\frac{\gamma}{\gamma-1}, \qquad \widehat{a}_0=\frac{1}{3}\widehat{\alpha}_s+\widehat{\alpha}_{1s}\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\gamma>1$ – показатель адиабаты в уравнении состояния газа, $\widehat{\alpha}_s\geqslant 0$, $\widehat{\alpha}_{1s}\geqslant 0$, $\widehat{\alpha}_P\geqslant 0$ – постоянные КГД-параметры в искусственных коэффициентах динамической и объемной вязкости и теплопроводности, $\tau>0$ – параметр релаксации. Эту систему уравнений можно переписать в симметризованной матричной форме, и тогда задача Коши для нее примет вид
$$
\begin{equation}
\ell\tau\partial_t^2\widetilde{\mathbf z}+\partial_t\widetilde{\mathbf z} +c_*B^{(i)}\partial_i\widetilde{\mathbf z} -\tau c_*^2\bigl(A^{(ii)}\partial_i^2\widetilde{\mathbf z}+(1-\delta^{(ij)})\widehat{A}^{(ij)}\partial_i\partial_j\widetilde{\mathbf z}\bigr) =\mathbf f_\tau \quad \text{в }\ \Pi_T,
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf z}|_{t=0}=\widetilde{\mathbf z}_{0\tau}, \quad \partial_t\widetilde{\mathbf z}|_{t=0}=\widetilde{\mathbf z}_{1\tau} \quad (\text{при }\ \ell=1) \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где $B^{(i)}$ и $A^{(ii)}$, $\widehat{A}^{(ij)}$ – постоянные матрицы конвективных и вязких слагаемых порядка $m=n+2$, ср. с [16], [17], и $\mathbf f_\tau=(f_{0\tau},\widetilde{\mathbf f}_\tau,f_{(n+1)\tau})$. При $\tau=0$ эта задача переходит в задачу Коши для линеаризованной системы уравнений газовой динамики 1-го порядка
$$
\begin{equation}
\partial_t\mathbf w+c_*B^{(i)}\partial_i\mathbf w=\mathbf f \quad \text{в }\ \Pi_T, \qquad \mathbf w|_{t=0}=\mathbf w_0 \quad \text{в }\ \mathbb{R}^n.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Выпишем возникшие матрицы. Пусть $\mathbf e_0,\dots,\mathbf e_{n+1}$ – векторы канонического базиса в $\mathbb{R}^{n+2}$. Введем матрицы $E^{(k,l)}:=\mathbf e_k\mathbf e_l^T+\mathbf e_l\mathbf e_k^T$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B^{(k)} &=M_kI_{n+2} +\frac{1}{\sqrt\gamma}E^{(0,k)}+\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}E^{(k,n+1)}, \\ A^{(kk)} &=D_\gamma+M_k^2I_{n+2} +\frac{2}{\sqrt\gamma}M_kE^{(0,k)}+\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}M_kE^{(k,n+1)} \\ &\qquad\qquad +(\widehat{a}_0+1)\mathbf e_k\mathbf e_k^T+\frac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}E^{(0,n+1)}, \\ D_\gamma &:= \operatorname{diag}\biggl\{\frac{1}{\gamma},\widehat{\alpha}_s, \dots,\widehat{\alpha}_s,\widehat{\alpha}_P+\frac{1}{\gamma_*}\biggr\}, \\ \widehat{A}^{(kl)} &=M_kM_lI_{n+2} +\frac{1}{\sqrt\gamma}\bigl(M_kE^{(0,l)}+M_lE^{(0,k)}\bigr) \\ &\qquad\qquad +\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\bigl(M_kE^{(l,n+1)}+M_lE^{(k,n+1)}\bigr) +\frac12(\widehat{a}_0+1)E^{(k,l)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $k$, $l$ от $1$ до $n$ (так же, как и в [33], [17]). Здесь и ниже $\operatorname{diag}\{d_1,\dots,d_{n+2}\}$ – диагональная матрица с перечисленными диагональными элементами. Матрицы $E^{(k,l)}$, $B^{(k)}$, $A^{(kk)}$, $\widehat{A}^{(kl)}$ – симметричные, и $\widehat{A}^{(kl)}=\widehat{A}^{(lk)}$. Для полноты приведем также матрицы $B^{(k)}$, $A^{(kk)}$, $\widehat{A}^{(kl)}$ ($k\neq l$) в $(3\times 3)$-блочном виде (см. [17]):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B^{(k)} =\begin{pmatrix} M_k&\dfrac{1}{\sqrt\gamma}\widetilde{\mathbf e}_k^T& 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt\gamma}\check{\mathbf e}_k &M_kI_n &\dfrac{1}{\sqrt\gamma_*}\check{\mathbf e}_k \\ 0&\dfrac{1}{\sqrt\gamma_*}\check{\mathbf e}_k^T& M_k \end{pmatrix}, \\ A^{(kk)} =\begin{pmatrix} M_k^2+\dfrac{1}{\gamma}& \dfrac{2}{\sqrt\gamma}M_k\check{\mathbf e}_k^T &\dfrac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}} \\ \dfrac{2}{\sqrt\gamma}M_k\check{\mathbf e}_k& (M_k^2+\widehat{\alpha}_s)I_n+(\widehat{a}_0+1)\check{\mathbf e}_k\check{\mathbf e}_k^T &\dfrac{2}{\sqrt\gamma_*}M_k\check{\mathbf e}_k \\ \dfrac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}&\dfrac{2}{\sqrt\gamma_*}M_k\check{\mathbf e}_k^T & M_k^2+\widehat{\alpha}_P+\dfrac{1}{\gamma_*} \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где исправлены опечатки в блоках $(1,1)$ и $(3,3)$,
$$
\begin{equation*}
\widehat{A}^{(kl)} =\begin{pmatrix} M_kM_l&\dfrac{1}{\sqrt\gamma}(M_k\check{\mathbf e}_l+M_l\check{\mathbf e}_k)^T&0 \\ \dfrac{1}{\sqrt\gamma}(M_k\check{\mathbf e}_l+M_l\check{\mathbf e}_k) & \widehat{A}^{(kl)}_{22} &\dfrac{1}{\sqrt\gamma_*}(M_k\check{\mathbf e}_l+M_l\check{\mathbf e}_k) \\ 0&\dfrac{1}{\sqrt\gamma_*}(M_k\check{\mathbf e}_l+M_l\check{\mathbf e}_k)^T& M_kM_l \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{A}^{(kl)}_{22} =M_kM_lI_n+{\frac12(\widehat{a}_0+1)}(\check{\mathbf e}_k\check{\mathbf e}_l^T+\check{\mathbf e}_l\check{\mathbf e}_k^T)$, и напомним, что $\check{\mathbf e}_1,\dots,\check{\mathbf e}_n$ – векторы канонического базиса в $\mathbb{R}^n$. Для $\widetilde{\mathbf z}=(\widetilde{\rho},\widetilde{\mathbf u},\widetilde{\varepsilon}),\mathbf z=(\rho,\mathbf u,\varepsilon)\in H^1(\mathbb{R}^n)$ введем билинейную форму
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{A}_{\mathbb{R}^n}(\widetilde{\mathbf z},\mathbf z) =\frac{1}{\gamma}(\nabla\widetilde{\rho},\nabla\rho)_{\mathbb{R}^n} +(\mathbf M\nabla\widetilde{\rho},\mathbf M\nabla\rho)_{\mathbb{R}^n} +\frac{2}{\sqrt{\gamma}}((\mathbf M\nabla)\widetilde{\mathbf u},\nabla\rho)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad+\frac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}(\nabla\widetilde{\varepsilon},\nabla\rho)_{\mathbb{R}^n} +\frac{2}{\sqrt{\gamma}}(\mathbf M\nabla\widetilde{\rho},\operatorname{div}\mathbf u)_{\mathbb{R}^n} +\widehat{\alpha}_s(\nabla\widetilde{\mathbf u},\nabla\mathbf u)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad +(\widehat{a}_0+1)(\operatorname{div}\widetilde{\mathbf u},\operatorname{div}\mathbf u)_{\mathbb{R}^n} +((\mathbf M\nabla)\widetilde{\mathbf u},(\mathbf M\nabla)\mathbf u)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad +\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}(\mathbf M\nabla\widetilde{\varepsilon},\operatorname{div}\mathbf u)_{\mathbb{R}^n} +\frac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}(\nabla\widetilde{\rho},\nabla\varepsilon)_{\mathbb{R}^n} +\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}((\mathbf M\nabla)\widetilde{\mathbf u},\nabla\varepsilon)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad +\biggl(\widehat{\alpha}_P+\frac{1}{\gamma_*}\biggr)(\nabla\widetilde{\varepsilon}, \nabla\varepsilon)_{\mathbb{R}^n} +(\mathbf M\nabla\widetilde{\varepsilon},\mathbf M\nabla\varepsilon)_{\mathbb{R}^n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формально она со знаком минус получается умножением правых частей уравнений (6.1)–(6.3), с опущенными множителями $\tau c_*^2$ и свободными членами $f_{0\tau}$, $\widetilde{\mathbf f}_\tau$, $f_{(n+1)\tau}$ на $\rho$, $\mathbf u$, $\varepsilon$ соответственно, интегрированием по $\mathbb{R}^n$ и интегрированием по частям. Ей соответствует квадратичная форма
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{A}_{\mathbb{R}^n}(\mathbf z,\mathbf z) =\frac{1}{\gamma}\|\nabla\rho\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\|\mathbf M\nabla\rho\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\widehat{\alpha}_s\|\nabla\mathbf u\|_{\mathbb{R}^n}^2 +(\widehat{a}_0+1)\|\operatorname{div}\mathbf u\|_{\mathbb{R}^n}^2 \\ &\qquad+\|(\mathbf M\nabla)\mathbf u\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\biggl(\widehat{\alpha}_P+\frac{1}{\gamma_*}\biggr)\|\nabla\varepsilon\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\|\mathbf M\nabla\varepsilon\|_{\mathbb{R}^n}^2 +\frac{2}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}(\nabla\rho,\nabla\varepsilon)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad +\frac{2}{\sqrt{\gamma}}\bigl[(\nabla\rho,(\mathbf M\nabla)\mathbf u)_{\mathbb{R}^n}+(\mathbf M\nabla\rho,\operatorname{div}\mathbf u)_{\mathbb{R}^n}\bigr] \\ &\qquad+\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}\bigl[(\nabla\varepsilon,(\mathbf M\nabla)\mathbf u)_{\mathbb{R}^n}+(\mathbf M\nabla\varepsilon,\operatorname{div}\mathbf u)_{\mathbb{R}^n}\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следующие леммы аналогичны полученным недавно в [17] (разностный случай) и [34] (дифференциальный случай). Лемма 1. Верны свойства симметричности и неотрицательной определенности Доказательство. Двукратное интегрирование по частям дает
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, ((\mathbf M\nabla)\mathbf u,\nabla v)_{\mathbb{R}^n} =-(\mathbf u,(\mathbf M\nabla)\nabla v)_{\mathbb{R}^n} =(\operatorname{div}\mathbf u,\mathbf M\nabla v)_{\mathbb{R}^n} \\ \forall\,\mathbf u\in H^1(\mathbb{R}^n),v\in H^2(\mathbb{R}^n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Без промежуточного равенства эта формула верна и для $v\in H^1(\mathbb{R}^n)$ в силу плотности $H^2(\mathbb{R}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^n)$. Из такой формулы следует свойство симметричности (6.7).
Легко видеть, что верна поточечная формула
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\nabla\rho+(\mathbf M\nabla)\mathbf u+\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\nabla\varepsilon\biggr|^2 +\biggl(\mathbf M\nabla\rho+\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\operatorname{div}\mathbf u\biggr)^2 +\biggl(\mathbf M\nabla\varepsilon+\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\operatorname{div}\mathbf u\biggr)^2 \\ &\qquad =\frac{1}{\gamma}|\nabla\rho|^2+(\mathbf M\nabla\rho)^2 +|(\mathbf M\nabla)\mathbf u|^2+(\operatorname{div}\mathbf u)^2 +\frac{1}{\gamma_*}|\nabla\varepsilon|^2+(\mathbf M\nabla\varepsilon)^2 \\ &\qquad\qquad +\frac{2}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}(\nabla\rho)\cdot\nabla\varepsilon +\frac{2}{\sqrt{\gamma}}[(\mathbf M\nabla\rho)\operatorname{div}\mathbf u+(\nabla\rho)\cdot(\mathbf M\nabla)\mathbf u] \\ &\qquad\qquad +\frac{2}{\sqrt{\gamma_*}}[(\mathbf M\nabla\varepsilon)\operatorname{div}\mathbf u+(\nabla\rho)\cdot(\mathbf M\nabla)\mathbf u] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом равенства $1/\gamma+1/\gamma_*=1$. Из нее и следует левое равенство (6.8). Остальные соотношения (6.8) очевидны.
Левое неравенство (6.9) вытекает из (6.8) с учетом проинтегрированной по $\mathbb{R}^n$ оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\gamma}|\nabla\rho|^2 &\leqslant 3\biggl(\biggl|\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\nabla\rho+(\mathbf M\nabla)\mathbf u+\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\nabla\varepsilon\biggr|^2 +(|\mathbf M||\nabla\mathbf u|)^2+\frac{1}{\gamma_*}|\nabla\varepsilon|^2\biggr) \\ &\leqslant 3\max\biggl\{1,\frac{M^2}{\widehat{\alpha}_s},\frac{1}{\gamma_*\widehat{\alpha}_P}\biggr\} \\ &\qquad\times \biggl(\biggl|\frac{1}{\sqrt{\gamma}}\nabla\rho+(\mathbf M\nabla)\mathbf u+\frac{1}{\sqrt{\gamma_*}}\nabla\varepsilon\biggr|^2 +\widehat{\alpha}_s|\nabla\mathbf u|^2+\widehat{\alpha}_P|\nabla\varepsilon|^2\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Правое неравенство (6.9) очевидно. Лемма доказана. Дадим еще один более алгебраический вывод важных соотношений (6.8), показывающий, как свойство (3.13) с $\mu_1=0$ может выполняться и при нарушении свойства (3.14). Лемма 2. Справедливы формулы и неравенство Доказательство. Первая формула вытекает просто из указанного выше перехода от уравнений (6.1)–(6.3) к их матричной записи (6.4), очевидного равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & -\bigl(A^{(ii)}\partial_i^2\widetilde{\mathbf z} +(1-\delta^{(ij)})\widehat{A}^{(ij)}\partial_i\partial_j\widetilde{\mathbf z},\mathbf z\bigr)_{\mathbb{R}^n} \\ &\qquad =\bigl(A^{(ii)}\partial_i\widetilde{\mathbf z},\partial_i\mathbf z\bigr)_{\mathbb{R}^n} +(1-\delta^{(ij)})\bigl(\widehat{A}^{(ij)}\partial_j\widetilde{\mathbf z},\partial_i\mathbf z\bigr)_{\mathbb{R}^n} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\widetilde{\mathbf z}\in H^2(\mathbb{R}^n)$, $\mathbf z\in H^1(\mathbb{R}^n)$ и плотности $H^2(\mathbb{R}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^n)$.
Введем матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{A}^{(kk)}:=\widehat{A}^{(kk)} +\frac{1}{\gamma}\mathbf e_0\mathbf e_0^T+\frac{1}{\gamma_*}\mathbf e_{n+1}\mathbf e_{n+1}^T+\frac{1}{\sqrt{\gamma\gamma_*}}E^{(0,n+1)} =A^{(kk)}-D, \\ k=1,\dots,n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В [17; доказательство теоремы 1] установлена формула
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(\widetilde{A}^{(ii)}\mathbf v_i\bigr)\cdot\mathbf v_i +\bigl(1-\delta^{(ij)}\bigr)(\widehat{A}^{(ij)}\mathbf v_j\bigr)\cdot\mathbf v_i -\biggl|\sum_{1\leqslant k\leqslant n}B^{(k)}\mathbf v_k\biggr|^2 \\ &\qquad =\frac12(\widehat{a}_0-1)\biggl(\sum_{1\leqslant k\leqslant n}v_{kk}\biggr)^2 +\frac12(\widehat{a}_0+1)v_{ij}v_{ji} \\ &\qquad \forall\, \mathbf v_i=(v_{i0},\dots,v_{i(n+1)})\in\mathbb{R}^{n+2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $i=1,\dots,n$. Отметим, что в ее правой части отсутствуют вектор $\mathbf M$ и компоненты $v_{i0}$, $v_{i(n+1)}$.
Из этой формулы не следует неравенство типа (3.14) с $\delta=0$. Тем не менее верно неравенство (6.10) типа (3.13) с $\delta=0$. Чтобы его вывести, подобно разностному случаю (см. [17]), для $\mathbf z=(\rho,\mathbf u,\varepsilon)\in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\mathbf u=(u_1,\dots,u_n)$ положим $\mathbf v_i=\partial_i\mathbf z$ и проинтегрируем последнюю формулу по $\mathbb{R}^n$. При всех $k\neq l$, дважды интегрируя по частям, имеем $(\partial_ku_l,\partial_lu_k)_{\mathbb{R}^n} =(\partial_lu_l,\partial_ku_k)_{\mathbb{R}^n}$ (возникающее при этом дополнительное условие $\partial_k\partial_lu_k\in L^2(\mathbb{R}^n)$ снимается в силу плотности $H^2(\mathbb{R}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^n)$). В силу этой формулы $(\partial_iu_j,\partial_ju_i)_{\mathbb{R}^n}=\|\operatorname{div}\mathbf u\|_{\mathbb{R}^n}^2$, что и приводит к соотношениям (6.10). Лемма доказана. В соответствии с данными выше определениями слабым решением задачи Коши для параболической КГД системы (6.4), (6.5) при $\ell=0$ называется функция $\widetilde{\mathbf z}\in V_2(\Pi_T)$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation*}
-(\widetilde{\mathbf z},\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}+c_*(B^{(i)}\partial_i\widetilde{\mathbf z},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau c_*^2\mathcal{A}_{\Pi_T}(\widetilde{\mathbf z},\boldsymbol\varphi) =\ell(\widetilde{\mathbf z}_{0\tau},\mathbf f_{\tau};\boldsymbol\varphi)-\tau(\mathbf g_{i\tau},\partial_i\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in H^1(\Pi_T)$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$. Здесь билинейная форма $\mathcal{A}_{\Pi_T}(\cdot,\cdot)$ получается из введенной выше $\mathcal{A}_{\mathbb{R}^n}(\cdot,\cdot)$ заменой в интегралах $\mathbb{R}^n$ на $\Pi_T$, а свободный член $\mathbf f_\tau$ взят в обобщенном виде $\mathbf f_\tau+\tau\partial_i\mathbf g_{i\tau}$. Слабым решением задачи Коши для гиперболической КГД системы (6.4), (6.5) при $\ell=1$ называется функция $\widetilde{\mathbf z}\in W_{2,\infty}^{1,1}(\Pi_T)$, удовлетворяющая интегральному тождеству
$$
\begin{equation*}
-\tau(\partial_t\widetilde{\mathbf z},\partial_t\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +(\partial_t\widetilde{\mathbf z}+c_*B^{(i)}\partial_i\widetilde{\mathbf z},\boldsymbol\varphi)_{\Pi_T} +\tau c_*^2\mathcal{A}_{\Pi_T}(\widetilde{\mathbf z},\boldsymbol\varphi) =\ell(\widetilde{\mathbf z}_{1\tau},\mathbf f_{\tau};\boldsymbol\varphi)
\end{equation*}
\notag
$$
для любой $\boldsymbol\varphi\in W_{2,1}^{1,1}(\Pi_T)$, $\boldsymbol\varphi|_{t=T}=0$, и начальному условию $\widetilde{\mathbf z}|_{t=0}=\widetilde{\mathbf z}_{0\tau}$ в $C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))$. Все доказанные выше теоремы применимы к задачам Коши для линеаризованных системы уравнений газовой динамики (6.6) и КГД систем (6.4), (6.5) (в силу леммы 1). Поэтому справедлив заключительный результат. Теорема 11. 1. Для задачи Коши для линеаризованной системы уравнений газовой динамики (6.6) верны теоремы 1 и 8, п. 1 с $c_0=0$. 2. Пусть $\widehat{\alpha}_s>0$, $\widehat{\alpha}_P>0$. Для задач Коши для линеаризованных КГД систем (6.4), (6.5) верны свойства (3.2) с $\nu=c_*^2\delta_1$, $\mu=0$ и (3.4) с $\delta=\mu_1=0$, и поэтому верны теоремы 2 и 8, п. 2 с $\overline{c}_0=c_0=0$ при $\ell=0$ либо теоремы 3 и 8, п. 3 с $\overline{c}_1=c_1=0$ при $\ell=1$. Для разности $\mathbf r_\tau=\mathbf w-\widetilde{\mathbf z} $ решений задач Коши для линеаризованных системы уравнений газовой динамики (6.6) и КГД систем (6.4), (6.5) верны оценки теорем 4 и 9 с $c_0=0$ при $\ell=0$ либо теорем 6 и 10 с $c_0=c_1=0$ при $\ell=1$. § 7. ЗаключениеВ статье изучены задачи Коши для симметричной линейной гиперболической системы уравнений 1-го порядка и ее сингулярных возмущений – сильно параболической и гиперболической 2-го порядка систем уравнений с малым параметром $\tau>0$ при вторых производных по $x$ и $t$, с матрицами-коэффициентами, зависящими от $x$ и $t$. Доказаны результаты о существовании и единственности слабых решений этих задач с оценками решений, равномерными по $\tau$, а также о регулярности решений системы уравнений 1-го порядка. Как главное, выведены оценки разностей $\mathbf r_\tau$ решений системы уравнений 1-го порядка и ее возмущений, включая оценки вида $\|\mathbf r_\tau\|_ {C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}=O(\tau^{\alpha/2})$ при начальной функции $\mathbf w_0$ гладкости $0<\alpha\leqslant 2$ по Соболеву и Никольскому, где при $\alpha=1/2$ охвачен широкий класс разрывных $\mathbf w_0$, и соответствующих условиях гладкости свободного члена системы 1-го порядка. При постоянных по $x$ коэффициентах выведены также оценки производных $\partial^{\mathbf k}$ по $x$ решений указанных систем, равномерные по $\tau$, и оценки $\|\partial^{\mathbf k}\mathbf r_\tau\|_ {C(0,T;L^2(\mathbb{R}^n))}=O(\tau^{\alpha/2})$ при любом $\mathbf k$. Дано приложение этих результатов к линеаризованным на постоянном решении системе уравнений газовой динамики 1-го порядка и ее возмущениям – параболической и гиперболической 2-го порядка квазигазодинамическим системам уравнений.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZloChe23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|