| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Вероятностная оценка для отклонений сеток Коробова А. А. Илларионов Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 11, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9522 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеНапомним, что отклонение $D(X)$ конечной последовательности $X\subset [0,1)^s$ от равномерного распределения определяется формулой (см., например, [1], [2])
$$
\begin{equation*}
D(X)=\sup_{\Pi} \biggl( \frac{\# (X\cap \Pi)}{\# X} - \operatorname{meas} \Pi\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где точная верхняя грань берется по всем прямоугольным параллелепипедам $\Pi$ из $[0,1)^s$ со сторонами, параллельными координатным плоскостям. Здесь и далее $\# X$ – количество элементов конечного множества $X$. Пусть $N\in \mathbb N$ и $a=(a_1,\dots,a_s)\in \mathbb Z^s$. Большой интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения представляют последовательности (сетки) $K_N(a)$, состоящие из $N$ точек вида
$$
\begin{equation*}
x^{(k)}=\biggl( \biggl\{\frac{a_1k}{N}\biggr\},\dots, \biggl\{\frac{a_sk}{N}\biggr\} \biggr), \qquad k=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Они были предложены независимо Н. М. Коробовым (см. [3]) и Е. Главкой (см. [4]) в качестве узлов многомерных квадратурных формул. Рассмотрим вопрос о наименьшем (из возможных) отклонении такой сетки от равномерного распределения. Если $s=1$ и $\operatorname{\text{нод\,}} (a_1,N)=1$, то
$$
\begin{equation*}
K_N(a_1)=\biggl\{\frac{1}{N}, \frac{2}{N},\dots,\frac{N-1}{N} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $D(K_N(a_1))=1/N$. В многомерном случае $(s\geqslant 2)$ ситуация становится принципиально сложнее. Н. М. Коробов (см. [5]) для простого $N$ и Х. Нидеррайтер (см. [6]) для произвольного натурального $N>1$ доказали оценку
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D_s(N) \equiv \min_{a\in \mathbb Z_N^s} D(K_N(a)) \underset{s}\ll \frac{\ln^s N}{ N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Она была улучшена Г. Ларчером (см. [7]) при $s=2$ и В. А. Быковским (см. [8]) при любом $s\geqslant 2$ в виде
$$
\begin{equation}
\mathfrak D_s(N) \underset{s}\ll \frac{\ln ^{s-1} N}{N} \ln\ln N.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Есть основания полагать, что $\mathfrak D_s(N)\gg_{s} (\ln N)^{s-1}/N$. При $s=2$ это вытекает из теоремы Шмидта (см. [9], [1]). В более высоких размерностях известно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak D_3(N) &\underset{\varepsilon} \gg \frac{\ln N}{N} (\ln \ln N)^{1/8-\varepsilon} \quad \text{(теорема Бека, см. [1], [10])}, \\ \mathfrak D_s(N) &\underset{s}\gg \frac{\ln^{(s-1)/2} N}{N} \quad \text{(теорема Рота, см. [11], [2]).} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наилучший результат получен в [12] и имеет вид: для любого $s\geqslant 3$ существует постоянная $\eta=\eta(s)> 0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak D_s(N) \underset{s}\gg \frac{\ln^{(s-1)/2 + \eta} N}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует отметить, что приведенные выше нижние оценки выполняются для любых $s$-мерных сеток, состоящих из $N$ узлов. Основной результат настоящей работы заключается в следующем. Пусть $\mathbb Z_N= \{0,1,\dots,N-1\}$. Теорема 1. Для любого $s\geqslant 3$ существует положительная постоянная $C(s)$, зависящая только от $s$ и удовлетворяющая условию: если $N$ простое, $\lambda$ вещественное, причем $2\leqslant \lambda \leqslant (\ln N)^{(s-1)/s}$, то Выбирая в (1.2) $\lambda=2$, получаем, что относительная доля $s$-мерных сеток Коробова, состоящих из $N$ узлов и имеющих отклонение
$$
\begin{equation*}
D(K_N(a)) \geqslant 2C(s) \frac{\ln ^{s-1} N}{N} \ln\ln N,
\end{equation*}
\notag
$$
не больше, чем $O_s ((\ln\ln N)^{-1})$. Доказательство теоремы опирается на полученную в [8] оценку отклонения сеток Коробова через относительные минимумы решеток (см. § 2). Замечание 1. Используя оценку Быковского и неравенство Маркова, нетрудно получить (см. § 4) такой результат: если $s\geqslant 2$, $N$ простое, $\lambda$ вещественное, причем $1\leqslant \lambda < N \ln^{1-s} N$, то Замечание 2. В приводимом ниже доказательстве теоремы 1 условие $s\geqslant 3$ существенно. Из [13] вытекает аналогичный теореме 1 результат при $s=2$. Используем следующие обозначения. Запись
$$
\begin{equation*}
f(x) \ll g(x) \quad (\text{либо } f(x)=O(g(x))) \quad \text{при }\ x\in X
\end{equation*}
\notag
$$
означает, что существует абсолютная постоянная $C>0$ такая, что $|f(x)| \leqslant C \cdot g(x)$ при всех $x\in X$. Если $C$ зависит от параметра $\theta$, то пишем $f(x) \ll_{\theta} g(x)$ (либо $f(x)=O_\theta(g(x))$). Запись $f\asymp g$ означает, что $f\ll g\ll f$.
§ 2. Оценка БыковскогоПусть $\Gamma$ – решетка в $\mathbb R^s$ (дискретная аддитивная подгруппа группы $(\mathbb R^s,+)$). Ненулевой узел $u\in \Gamma$ будем называть относительным минимумом решетки $\Gamma$, если не существует другого ненулевого узла $v\in \Gamma$, для которого причем хотя бы одно из неравенств является строгим.Пусть $\mathfrak M(\Gamma)$ – множество всех относительных минимумов решетки $\Gamma$. Для $N\in \mathbb N$ и $a\in \mathbb Z^s$ определим решетку $\Gamma_N(a)$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\Gamma_N(a)=\{u\in \mathbb Z^s\colon a\cdot u \equiv 0\ (\operatorname{mod} N) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее если $ a=(a_1,\dots,a_s)$, $u=(u_1,\dots, u_s)$, то Для любого $x\in \mathbb Z^s$ положим Согласно теореме Минковского о линейных формах
$$
\begin{equation}
\forall\, u\in \mathfrak M (\Gamma_N(a)) \quad H(u) \leqslant N.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Значит, множество $\mathfrak M (\Gamma_N(a))$ конечно. Теорема 2 (см. [8]). Пусть $s\geqslant 2$, $N\in \mathbb N$. Тогда для всех $a\in \mathbb Z_N^s$
$$
\begin{equation}
D(K_N(a)) \underset{s}\ll S(a,N)=\sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь и ниже штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по ненулевым $x\in \mathbb Z^s$, удовлетворяющим условиям, указанным под знаком суммы,
$$
\begin{equation*}
\delta_N(m)=\begin{cases} 1, & \text{ если $m$ кратно $N$}, \\ 0, & \text{ если $m$ не кратно $N$}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– символ Коробова. Таким образом, для обоснования теоремы 1 достаточно доказать, что сумма $S(a,N)$ не очень большая почти для всех $a\in \mathbb Z_N^s$. Для этого мы будем использовать неравенства Маркова и Чебышёва. § 3. Математическое ожидание и дисперсия одной суммыВсюду в этом параграфе считаем, что $N$ простое. Пусть $\Omega$ – конечное множество из $\mathbb Z^s\setminus\{0\}$. Для любого $a\in \mathbb Z^s$ положим
$$
\begin{equation*}
S(a,N;\Omega)=\sum_{x\in \Omega}\frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая $a$ как случайную величину, равномерно распределенную на $\mathbb Z^s_N$, определим математическое ожидание $\mu(N;\Omega)$ и дисперсию $\sigma^2(N;\Omega)$ величины $S(a,N;\Omega)$ по стандартным формулам:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu(N;\Omega) =\frac{1}{N^s}\sum_{a\in \mathbb Z^s_N} S(a,N;\Omega), \\ \sigma^2(N;\Omega) =\frac{1}{N^s}\sum_{a\in \mathbb Z^s_N} \bigl(S(a,N;\Omega) - \mu(N;\Omega)\bigr)^2\equiv \frac{1}{N^s}\sum_{a\in \mathbb Z^s_N} S^2(a,N;\Omega) - \mu^2(N;\Omega). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Левая часть (3.1) – это количество решений $a_1,\dots,a_s\in \mathbb Z_N$ сравнения Так как $N$ простое, то это количество равно $N^{s-1}$. Лемма доказана. Замечание 3. Пусть $X$ – конечное множество из $(0,+\infty)$, а $\mu$ – среднее арифметическое чисел из $X$. Тогда для любого $\lambda>0$ справедливо неравенство Маркова Доказательство. Согласно неравенству Маркова
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{N^s}\cdot \#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon S(a,N;\Omega) \geqslant \frac{R}{N}\biggr\} \leqslant \frac{\mu(N;\Omega)}{R/N} .
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить формулу (3.2). Лемма доказана. Будем рассматривать $\mathbb Z_N$ как поле вычетов по (простому) модулю $N$. Тогда $\mathbb Z^s_N$ – линейное пространство над полем $\mathbb Z_N$. Пусть множество $V_s(N)$ состоит из пар $(x,y)\in \mathbb Z^s\times \mathbb Z^s$ таких, что $x$, $y$ линейно зависимы над полем $\mathbb Z_N$, т.е. существуют такие $\alpha,\beta\in \mathbb Z_N$, что
$$
\begin{equation*}
\alpha\beta \not\equiv 0 \pmod N, \qquad \alpha x \equiv \beta y \pmod N.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
V_s (N)=\bigl\{(x,y)\in \mathbb Z^s\times \mathbb Z^s\colon x_i y_j \equiv x_j y_i\ (\operatorname{mod}N),\, 1\leqslant i<j \leqslant s\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Левая часть (3.4) – это количество решений $a_1,\dots,a_s\in \mathbb Z_N$ системы из двух линейных уравнений Поэтому требуемое утверждение вытекает из известных свойств линейной алгебры. Лемма доказана. Доказательство. Используя определения и формулы (3.1), (3.4), (3.2), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{a\in \mathbb Z^s_N} S^2(a,N;\Omega) =\sum_{a\in \mathbb Z^s_N}\sum_{x\in \Omega} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)}\sum_{y\in \Omega}\frac{\delta_N(a\cdot y)}{H(y)} \\ &\qquad =\sum_{x,y\in \Omega}\frac{1}{H(x) H(y)}\sum_{a\in \mathbb Z^s_N}\delta_N(a\cdot x)\delta_N(a\cdot y) \\ &\qquad =N^{s-2}\sum_{x,y\in \Omega,\,(x,y)\notin V_s(N)}\frac{1}{H(x) H(y)} + N^{s-1}\sum_{x,y\in \Omega,\, (x,y)\in V_s(N)}\frac{1}{H(x) H(y)} \\ &\qquad =N^{s-2}\biggl(\sum_{x\in \Omega}\frac{1}{H(x)}\biggr)^2 + (N^{s-1}-N^{s-2})\sum_{x,y\in \Omega,\, (x,y)\in V_s(N)}\frac{1}{H(x) H(y)} \\ &\qquad =N^{s}\mu^2(N;\Omega) + (N^{s-1}-N^{s-2})\sum_{x,y\in \Omega,\, (x,y)\in V_s(N)}\frac{1}{H(x) H(y)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя полученное соотношение в определение дисперсии $\sigma^2(N;\Omega)$, приходим к (3.5). Лемма доказана. § 4. Доказательство неравенства (1.3)Для любого $a\in \mathbb Z^s_N$ определим величину (параметр Бахвалова, см. [14])
$$
\begin{equation*}
Q_N(a)=\min_{a\cdot x \equiv 0\,(\operatorname{mod} N)} H(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где минимум берется по всем ненулевым $x\in \mathbb Z^s$ таким, что $a\cdot x \equiv 0 \pmod N$. Следующее утверждение по сути доказано в [14]. Для полноты изложения приводим его вместе с доказательством. Доказательство. Искомое число не больше, чем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{a\in \mathbb Z^s_N} \sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N/T} \delta_N(a\cdot x) = \sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N/T} \sum_{a\in \mathbb Z^s_N}\delta_N(a\cdot x) = N^{s-1}\sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N/T}1 \\ &\qquad \underset{s}\ll N^{s-1} \sum_{x_1,\dots, x_{s-1}\in \mathbb N,\, x_1\dotsb x_{s-1}\leqslant N} \frac{N}{T x_1\cdots x_{s-1}} \underset{s}\ll \frac{N^s}{T} \ln^{s-1}N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Определим множество $W_{N,T}=\{x\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}\colon {N}/{T} < H(x) \leqslant N \}$. Если $Q_N(a)> N T^{-1}$, то
$$
\begin{equation*}
\sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} =\sum_{x\in W_{N,T}} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \equiv S(a,N; W_{N,T}).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in W_{N,T}} \frac{1}{H(x)} \underset{s}\ll \sum_{x\in \mathbb N^s,\, N T^{-1}\leqslant x_1\cdots x_s \leqslant N}\frac{1}{H(x)} \underset{s}\ll (\ln N)^{s-1} \ln T .
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить лемму 3, в которой $\Omega=W_{N,T}$, $R=\lambda (\ln N)^{s-1}\ln \ln N$. Лемма доказана. Доказательство неравенства (1.3). Согласно (2.3) достаточно доказать, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{N^s}\cdot \#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon \sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant \lambda \frac{\ln^{s-1}N}{N}\ln\ln N\biggr\} \underset{s} \ll \frac{1}{\lambda} + \frac{\ln \lambda}{ \lambda \ln \ln N}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Применяя леммы 6, 7, получаем, что левая часть (4.1) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{N^s}\cdot \#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon Q_N(a) \leqslant \frac{N}{T} \biggr\} \\ &\ +\frac{1}{N^s}\cdot \#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon S(a,N; W_{N,T})\geqslant \lambda \frac{\ln^{s-1}N}{N}\ln\ln N\biggr\}\underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1}N }{T} + \frac{\ln T}{\lambda \ln\ln N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $T=\lambda \ln^{s-1}N$, приходим к неравенству (1.3). § 5. Вспомогательная леммаЦелью настоящего параграфа является доказательство следующего вспомогательного результата. Для любого $P=(P_1,\dots, P_s)\in \mathbb N^s$ определим величину
$$
\begin{equation*}
R(P)=\frac{P_1P_2\dotsb P_s}{\min_{1\leqslant i\leqslant s} P_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 8. Пусть $s\geqslant 3$, $N$ простое, $P=(P_1,\dots, P_s)$, $Q=(Q_1,\dots, Q_s)\in \mathbb N^s$, причем Тогда количество векторов $x,y\in \mathbb Z^s$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation}
P_i\leqslant |x_i| < 2P_i, \quad Q_i\leqslant |y_i| < 2Q_i, \qquad i=1,\dots,s,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
не больше, чем $O_s(\max\{R(P), R(Q)\})$. В дальнейшем эта лемма будет применена только один раз. Она вынесена в отдельный параграф из-за громоздкости доказательства. Лемма 9. Пусть $a,b\in \mathbb Z\setminus\{0\}$, $c\in \mathbb Z$, $d=\operatorname{\textrm{нод}}(a,b)$, $P_0,Q_0 \in \mathbb N$, причем $d\mid c$. Количество целых $x,y\in \mathbb Z$, удовлетворяющих условиям не больше, чем $2d\max\{1, \min\{P_0/|b|, Q_0/ |a|\}\}$. Доказательство. Пусть $P_0/|b| \leqslant Q_0 / |a|$. Целое $x$ удовлетворяет условиям Таких целых не больше, чем $2d \max\{1, P_0/ |b|\}$. Если $x$ известно, то $y$ однозначно определяется из исходного уравнения. Лемма доказана. Доказательство леммы 8. Применим метод математической индукции по $s=3,4,\dots$ .
База индукции. Пусть $s=3$. Согласно (5.3) для любого решения $(x,y)$ задачи (5.2)–(5.4) найдутся целые $k_1,k_2,k_3$ такие, что
$$
\begin{equation}
x_1 y_2=x_2y_1 + k_3 N, \qquad x_1 y_3=x_3y_1 + k_2 N, \qquad x_2 y_3=x_3y_2 + k_1 N,
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
причем в силу (5.2)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |k_3| \leqslant \frac{|x_1y_2| + |x_2 y_1|}{N} < 4\frac{P_1 Q_2+ P_2 Q_1}{N}, \\ |k_2| < 4\frac{P_1 Q_3+ P_3 Q_1}{N}, \qquad |k_1| < 4\frac{P_2 Q_3+ P_3 Q_2}{N}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
1. Рассмотрим решения задачи (5.2)–(5.4), удовлетворяющие дополнительному условию
$$
\begin{equation}
\text{существуют такие $i,j\in \{1,2,3\}$, что $i\neq j$, $x_i y_j=x_j y_i$.}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Не умаляя общности, ограничимся случаем, когда $i=1$, $j=2$, т.е. Оценим количество решений задачи (5.2)–(5.4), (5.8).
Пусть существуют $x,y\in \mathbb Z^3$, удовлетворяющие (5.2)–(5.4), (5.8). Из (5.8) вытекает, что векторы $(x_1,x_2)$, $(y_1,y_2)$ линейно зависимы над полем $\mathbb R$. Поэтому $|x_i|\leqslant |y_i|$, $i=1,2$, либо $|x_i|\geqslant |y_i|$, $i=1,2$. Отсюда в силу (5.2) следует, что $P_i< 2Q_i$ либо $Q_i<2P_i$. Пусть для определенности $P_1 < 2Q_1$, $P_2 < 2Q_2$. Не умаляя общности, можно также считать, что $Q_1\geqslant Q_2$. Тогда $4P_1 > P_2$ в силу (5.2), (5.8). Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда
$$
\begin{equation}
P_1 < 2Q_1, \qquad P_2 < 2Q_2, \qquad Q_2\leqslant Q_1, \qquad P_2 < 4 P_1.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Из (5.6), (5.9), (5.1) вытекает оценка
$$
\begin{equation}
|k_1| < 4\frac{2Q_2 Q_3+ P_3 Q_2}{N} < 8 + 4\frac{P_3Q_2}{N}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Отметим, что $k_1\neq 0$ (иначе $x,y$ линейно зависимы над $\mathbb R$).
Оценим количество решений задачи (5.2)–(5.4), (5.8) при заданных значениях переменных $x_2,y_2,k_1$. Выберем (и зафиксируем) набор целых $(x_2,y_2,k_1)$, удовлетворяющий соответствующим неравенствам из (5.2), (5.10), причем $k_1\neq 0$. Целые $x_3$, $y_3$ должны удовлетворять последнему уравнению из (5.5). Для его разрешимости необходимо, чтобы выполнялось условие $d=\operatorname{\text{нод}}(x_2,y_2)\mid k_1 N$, т.е. $d\mid k_1$ (так как $N$ простое и $d\leqslant |x_2|< 2P_2 \leqslant N$). Далее считаем, что $k_1 \equiv 0 \pmod d$. Согласно лемме 9 количество $(x_3,y_3)$, удовлетворяющих последнему уравнению из (5.5) и соответствующим неравенствам из (5.2), не больше, чем
$$
\begin{equation*}
2d \max\biggl \{1, \frac{Q_3}{|y_2|}\biggr\} \leqslant 2d \biggl( 1+ \frac{Q_3}{Q_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.8) вытекает, что где $t\in \mathbb Z$, причем
$$
\begin{equation*}
1\leqslant |t|=d \frac{|y_1|}{|y_2|} \leqslant 2d \frac{Q_1}{Q_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, при фиксированном выборе $(x_2,y_2,k_1)$ количество решений задачи (5.2)–(5.4), (5.8) не превосходит
$$
\begin{equation*}
8d^2 \biggl( 1+ \frac{Q_3}{Q_2}\biggr)\frac{Q_1}{Q_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $d=\operatorname{\text{нод}} (x_2,y_2)$, причем $d\mid k_1$.
Если $P_3Q_2 \leqslant N$, то $|k_1|\leqslant 12$ согласно (5.10). Поэтому $d\leqslant 12$ и количество решений задачи (5.2)–(5.4), (5.8) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
C P_2 Q_2\biggl( 1+ \frac{Q_3}{Q_2}\biggr)\frac{Q_1}{Q_2}=C Q_1 (Q_2 + Q_3) \frac{P_2}{Q_2} \leqslant 2 C Q_1 (Q_2+Q_3) \ll R(Q).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и ниже в этом доказательстве $C$ – некоторая абсолютная постоянная.
Пусть $P_3Q_2\,{>}\,N$. Тогда $|k_1|\,{\leqslant}\, 12 P_3 Q_2 N^{-1}$ согласно (5.10). Количество решений задачи (5.2)–(5.4), (5.8) не превосходит величины
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{d=1}^{2P_2} \sum_{\substack{1\leqslant |k_1|\leqslant 12 P_3 Q_2 N^{-1} \\ k_1 \equiv 0 \,(\operatorname{mod}d)}} \sum_{\substack{P_2\leqslant |x_2|< 2 P_2 \\ x_2 \equiv 0\,(\operatorname{mod}d)}} \sum_{\substack{Q_2\leqslant |y_2|< 2 Q_2 \\ y_2 \equiv 0 \,(\operatorname{mod}d)}} 8d^2 \biggl( 1+ \frac{Q_3}{Q_2}\biggr)\frac{Q_1}{Q_2} \\ &\qquad \ll\biggl( 1+ \frac{Q_3}{Q_2}\biggr)\frac{Q_1}{Q_2} \frac{P_3 Q_2}{N} P_2 Q_2 \sum_{d=1}^{2P_2}\frac{1}{d}\ll(Q_3+Q_2)Q_1 \cdot \frac{P_3P_2 \ln(P_2+1)}{N} \\ &\qquad \ll(Q_3+Q_2)Q_1 \cdot \frac{P_3P_2 P_1}{N} \leqslant (Q_3+Q_2)Q_1 \leqslant 2 R(Q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы учли, что $P_2 \leqslant 4P_1$.
Следовательно, количество решений задачи (5.2)–(5.4), (5.7) не больше, чем $\max\{R(P), R(Q)\}$. 2. Осталось оценить количество решений $(x,y)$ задачи (5.2)–(5.4), которые не удовлетворяют условию (5.7). Для каждого такого решения $k_1k_2k_3\neq 0$, где $k_i$ – целые из уравнений (5.5). Не ограничивая общности, будем считать, что
$$
\begin{equation*}
P_1\leqslant Q_1, \qquad P_2 \leqslant Q_2, \qquad Q_1\geqslant Q_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда согласно (5.6), (5.1)
$$
\begin{equation}
1\leqslant |k_3| < 4\frac{Q_1 Q_2+ Q_2 Q_1}{N} \leqslant 8, \qquad 1\leqslant |k_1| < 4\frac{Q_2 Q_3+ P_3 Q_2}{N} \leqslant 4 + 4 \frac{P_3Q_2}{N}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Выберем (и зафиксируем) набор целых $(x_1,x_2,k_1,k_3)$, удовлетворяющий (5.2), (5.11). Сразу отметим, что
$$
\begin{equation*}
d=\operatorname{\text{нод}}(x_1,x_2, k_3 N)=\operatorname{\text{нод}}(x_1,x_2, k_3)\leqslant |k_3| \leqslant 8.
\end{equation*}
\notag
$$
Целые $y_1$, $y_2$ должны удовлетворять первому уравнению из (5.5) и соответствующим неравенствам из (5.2). По лемме 9 таких целых не больше, чем
$$
\begin{equation*}
2d \max\biggl\{1, \min \biggl\{\frac{Q_1}{|x_1|}, \frac{Q_2}{|x_2|}\biggr\}\biggr\} \leqslant 16 \min \biggl\{\frac{Q_1}{P_1}, \frac{Q_2}{P_2}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть такие $y_1,y_2$ также фиксированы. Так как $x_1 y_2=x_2 y_1 + k_3N$, то $r=\operatorname{\text{нод}}(x_2,y_2)\mid k_3$. Значит, $r \leqslant |k_3| \leqslant 8$.
Целые $x_3,y_3$ должны удовлетворять последнему уравнению из (5.5) и неравенствам (5.2). По лемме 9 таких целых не больше, чем
$$
\begin{equation*}
2r \max\biggl\{1, \frac{Q_3}{|y_2|}\biggr\} \leqslant 16 \biggl(1 + \frac{Q_3}{Q_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, количество решений задачи (5.2)–(5.4), для которых не выполняется (5.7), не превосходит
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & C P_1 P_2 \biggl(1+ \frac{P_3Q_2}{N}\biggr) \min \biggl\{\frac{Q_1}{P_1}, \frac{Q_2}{P_2}\biggr\}\biggl(1 + \frac{Q_3}{Q_2}\biggr) \\ &\qquad \leqslant C P_1 P_2\biggl( \frac{Q_2}{P_2} + \frac{P_3Q_2}{N} \frac{Q_1}{P_1}\biggr) \biggl(1 + \frac{Q_3}{Q_2}\biggr) \\ &\qquad =C\biggl( P_1 + \frac{P_2P_3}{N} Q_1\biggr) (Q_2 +Q_3)\leqslant 2C Q_1 (Q_2 +Q_3) \ll R(Q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Требуемая оценка выполнена. Утверждение леммы при $s=3$ доказано.
Шаг индукции от $s-1$ к $s$. Пусть $s\geqslant 4$. Согласно (5.4) у любого решения задачи (5.2)–(5.4) найдется номер $k\in \{1,\dots, s\}$ такой, что векторы, полученные из $x,y$ вычеркиванием $k$-й координаты, линейно независимы над $\mathbb R$. Поэтому достаточно оценить количество решений задачи (5.2)–(5.4), удовлетворяющих дополнительному условию
$$
\begin{equation}
\text{векторы $(x_1,\dots,x_{s-1})$, $(y_1,\dots,y_{s-1})$ линейно независимы над $\mathbb R$.}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Возьмем (и зафиксируем) набор $(x_1,\dots,x_{s-1},y_1,\dots,y_{s-1})$, состоящий из целых, удовлетворяющих условиям (5.2), (5.3) (при $i,j\leqslant s-1$) и (5.12). По предположению индукции таких наборов не больше, чем
$$
\begin{equation*}
O_s(\max\{R(P'), R(Q')\}), \qquad P'=(P_1,\dots,P_{s-1}), \qquad Q'=(Q_1,\dots,Q_{s-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, например, $R(P')\leqslant R(Q')$. Зафиксируем также произвольное целое $y_s$ такое, что $Q_s \leqslant |y_s|< 2 Q_s$. Так как $P_s<N$, то существует не более двух $x_s$, удовлетворяющих условиям
$$
\begin{equation*}
x_sy_1 \equiv x_1y_s\pmod{N}, \qquad P_s \leqslant |x_s| < 2P_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, количество решений задачи (5.2), (5.3), (5.12) не превосходит величины $O_s(R(Q')Q_s)$. Так как
$$
\begin{equation*}
R(Q_1,\dots,Q_{s-1}) \cdot Q_s \leqslant R(Q_1,\dots,Q_{s-1},Q_s)=R(Q),
\end{equation*}
\notag
$$
то требуемая оценка доказана. Лемма 8 доказана. Замечание 4. Справедлива более точная оценка: количество решений задачи (5.2)–(5.4) не больше, чем $O_s(\max\{R_*(P), R_*(Q)\})$, где § 6. Доказательство теоремы 1Пусть $T\in (1,\infty)$. Определим множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_{N,T} &= \biggl\{x\in \mathbb Z^s\colon \frac{N}{T} < H(x) \leqslant N, \, \ln^s N \leqslant |x_i|,\, i=1,\dots,s\biggr\}, \\ \omega_{N,T} &= \bigcup_{n=1}^s \biggl\{x\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}\colon \frac{N}{T} < H(x) \leqslant N,\, |x_n| <\ln^s N\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\Omega_{N,T}\cup \omega_{N,T}=\biggl\{x\in \mathbb Z^s\setminus\{0\}\colon \frac{N}{T} < H(x) \leqslant N \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сначала докажем, что величина
$$
\begin{equation*}
S(a,N; \omega_{N,T})=\sum_{x\in \omega_{N,T}} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)}
\end{equation*}
\notag
$$
небольшая почти для всех $a$. Доказательство. Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{x\in \omega_{N,T}} \frac{1}{H(x)} \underset{s}\ll \sum_{ N/ T \leqslant H(x) \leqslant N,\, 1\leqslant x_1 \leqslant \ln^s N} \frac{1}{H(x)} \\ &\qquad \underset{s}\ll \ln T \sum_{1\leqslant x_1 \leqslant \ln^s N}\biggl( \sum_{1\leqslant x_2,\dots ,x_{s-1} \leqslant N} \frac{1}{x_1\dotsb x_{s-1}}\biggr) \underset{s}\ll \ln T (\ln N)^{s-2} \ln\ln N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Подставляя оценку (6.1) в неравенство (3.3), где приходим к требуемому результату. Лемма доказана. Осталась самая сложная задача: доказать, что сумма $S(a,N;\Omega_{N,T})$ почти всегда небольшая. Для этого неравенства Маркова (леммы 3) недостаточно. Мы получим оценку дисперсии и выведем нужный результат из неравенства Чебышёва. Замечание 5. Пусть $D>1$ и $n\in \mathbb N$. Тогда Отсюда вытекает, что Лемма 11. Пусть $s\geqslant 3$, $N$ простое, $T$ вещественное, причем Тогда Доказательство. Используя (6.2), (6.1), (6.3), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{x\in \Omega_{N,T}} \frac{1}{H(x)}= \sideset{}{'}\sum_{N/T \leqslant H(x) \leqslant N} \frac{1}{|x_1\dotsb x_s|} - \sum_{x\in \omega_{N,T}} \frac{1}{H(x)} \\ &\quad =\frac{2^s}{s!} \biggl(\ln^s N - \ln^s \frac NT\biggr) + O_s (\ln^{s-1}N) =\frac{2^s}{(s-1)!}\, (\ln N )^{s-1} \ln T + O_s (\ln^{s-1} N). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последнее соотношение и формулу (3.2), приходим к (6.4).
Согласно (3.5) для доказательства оценок (6.5) достаточно установить, что
$$
\begin{equation}
\sum_{x,y\in \Omega_{N,T},\, (x,y)\in V_s(N)} \frac{1}{H(x) H(y)} \underset{s}\asymp \frac{T \ln^{s-1} N}{N}.
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Так как $(x,x)\in V_s(N)$ при любом $x\in \mathbb Z^s$, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{x,y\in \Omega_{N,T},\, (x,y)\in V_s(N)} \frac{1}{H(x) H(y)} \geqslant \sum_{x\in \Omega_{N,T}} \frac{1}{H^2(x)} \underset{s}\gg \frac{T}{N} \ln^{s-1} N.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось получить верхнюю оценку для левой части из (6.6). Пусть $V_s$ состоит из пар $(x,y)\in \mathbb Z^s\times \mathbb Z^s$ таких, что $x$, $y$ линейно зависимы над полем $\mathbb R$. Представим сумму в левой части (6.6) в виде $G_1+G_2$, где
$$
\begin{equation*}
G_1=\sum_{x,y\in \Omega_{N,T},\, (x,y)\in V_s} \frac{1}{H(x) H(y)}, \qquad G_2= \sum_{x,y\in \Omega_{N,T},\, (x,y)\in V_s(N)\setminus V_s} \frac{1}{H(x) H(y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сначала $G_1$. Пусть $x,y\in \Omega_{N,T}$, $(x,y)\in V_s$. Тогда найдутся $a,b\in \mathbb N$ и примитивная точка $z\in \mathbb Z^s$ такие, что Кроме того, $H(x)=a^s H(z)$, $H(y)=b^s H(z)$, причем
$$
\begin{equation*}
\max\biggl\{\frac{N}{T a^s},\frac{N}{T b^s} \biggr\} \leqslant H(z) \leqslant \min\biggl\{\frac{N}{a^s},\frac{N}{b^s} \biggr\} \leqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag G_1 &\underset{s}\ll \sum_{1\leqslant a \leqslant b < \infty} \frac{1}{a^s b^s} \sideset{}{'}\sum_{N T^{-1}a^{-s} \leqslant H(z) < N } \frac{1}{H^2(z)} \\ \notag &\underset{s}\ll{} \sum_{(N T^{-1})^{1/s} \leqslant a \leqslant b < \infty} \frac{1}{a^s b^s}+ \sum_{1\leqslant a \leqslant b < \infty} \frac{1}{a^s b^s} \sum_{z_2,\dots, z_s=1}^N \frac{T a^s}{N} \frac{1}{z_2\dotsb z_s} \\ &\underset{s}\ll \frac{T}{N} \ln^{s-1}N \sum_{1\leqslant a \leqslant b < \infty} \frac{1}{b^s}\underset{s}\ll \frac{T}{N} \ln^{s-1}N . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
Осталось оценить $G_2$. Возьмем любую точку $x\in \Omega_{N,T}$ и выберем набор $(k_1,\dots,k_s)$, где $k_i$ – неотрицательные целые, так, что
$$
\begin{equation*}
2^{k_i} \leqslant |x_i| < 2^{k_i+1}, \qquad i=1,\dots,s.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда где $|k|_1=k_1+\dots + k_s$, причем $k \in K_s(N)$, где $K_s(N)$ – множество, состоящее из целочисленных точек $k\in \mathbb Z^s$, удовлетворяющих неравенствам
$$
\begin{equation*}
\log_2\frac NT -s < |k|_1 \leqslant \log_2 N, \qquad \log_2 (\ln^{s} N)-1 \leqslant k_i, \quad i=1,\dots,s.
\end{equation*}
\notag
$$
Не умаляя общности, можно считать, что $\log_2(\ln^{s} N) \geqslant 3$. Тогда
$$
\begin{equation*}
G_2 \leqslant \sum_{k,n\in K_s(N)} \sum_{\substack{(x,y)\in V_s(N)\setminus V_s \\ 2^{k_i} \leqslant |x_i| < 2^{k_i+1},\,2^{n_i} \leqslant |y_i| < 2^{n_i+1}}} \frac{1}{H(x) H(y)} \leqslant \sum_{k,n\in K_s(N)} \frac{f(k,n)}{ 2^{|k|_1} 2^{|n|_1}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f(k,n)$ – количество пар $(x,y)\in V_s(N)\setminus V_s$ таких, что
$$
\begin{equation*}
2^{k_i} \leqslant |x_i| <2^{k_i+1}, \quad 2^{n_i} \leqslant |y_i|<2^{n_i+1}, \qquad i=1,\dots,s.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $k_i\geqslant 2$, $n_i\geqslant 2$, $|k|_1 \leqslant \log_2 N$, $|n|_1 \leqslant \log_2 N$, то наборы $(P_1,\dots,P_s)=(2^{k_1},\dots, 2^{k_s})$, $(Q_1,\dots,Q_s)=(2^{n_1},\dots, 2^{n_s})$ удовлетворяют условиям леммы 8, согласно которой
$$
\begin{equation*}
f(k,n) \underset{s}\ll \max\{R(2^{k_1},\dots, 2^{k_s}),\, R(2^{n_1},\dots, 2^{n_s})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation}
G_2 \underset{s}\ll \sum_{k\in K_s(N)} \frac{1}{2^{|k|_1}} \sum_{n\in K_s(N)} \frac{R(2^{n_1},\dots, 2^{n_s})}{2^{|n|_1}}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k\in K_s(N)} \frac{1}{2^{|k|_1}} &\underset{s}\ll \sum_{\log_2(N/T)- s \leqslant k_0} \frac{1}{2^{k_0}} \sum_{1\leqslant k_1,\dots, k_{s-1} \leqslant k_0} 1 \\ &\leqslant \sum_{\log_2(N/T)- s \leqslant k_0} \frac{k_0^{s-1}}{2^{k_0}} \underset{s}\ll \frac{T \ln^{s-1} N}{N}, \\ \sum_{n\in K_s(N)} \frac{R(2^{n_1},\dots, 2^{n_s})}{2^{|n|_1}} &\underset{s}\ll \sum_{\log_2(\ln^s N)-1 \leqslant n_s \leqslant n_{s-1}\leqslant \dots \leqslant n_1\leqslant \log_2 N} \frac{1}{2^{n_s}} \\ &\underset{s}\ll \frac{\log_2^{s-1} N}{\ln^s N}\underset{s}\ll \frac{1}{\ln N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя две последние оценки в (6.8), заключаем, что Из последнего неравенства и (6.7) вытекает верхняя оценка для левой части из (6.6). Соотношения (6.5) доказаны. Лемма 11 доказана. Замечание 6. Пусть $X$ – конечное множество из $(0,+\infty)$, причем Тогда для любого $\lambda>0$ справедливо неравенство Чебышёва Лемма 12. Если выполняются условия леммы 11, то для любого $\beta >0$ Доказательство. Согласно неравенству Чебышёва левая часть (6.9) не больше, чем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\beta^2}\,\frac{\sigma^2(N;\Omega_{N,T})}{\mu^2(N;\Omega_{N,T})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось применить оценки (6.4), (6.5). Лемма доказана. Доказательство теоремы 1. В силу (2.2) достаточно доказать, что количество $a\in\mathbb Z^s_N$ таких, что
$$
\begin{equation}
\sideset{}{'}\sum_{H(x)\leqslant N} \frac{\delta_N(a\cdot x)}{H(x)} \geqslant \lambda\widehat \mu, \qquad \widehat \mu=\frac{2^s}{(s-2)!}\,\frac{\ln^{s-1}N}{N}\ln\ln N,
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
не больше, чем $O_s(N^s(\lambda \ln \ln N)^{-1})$. Нетрудно заметить, что количество $a\in\mathbb Z^s_N$, удовлетворяющих (6.10), не превосходит величины где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M_1 =\#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon Q_N(a) \leqslant \frac{N}{T}\biggr\}, \qquad M_2 =\#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon S(a,N;\omega_{N,T}) \geqslant \frac{\widehat \mu \lambda}{4}\biggr\}, \\ M_3 =\#\biggl\{a\in \mathbb Z^s_N\colon S(a,N;\Omega_{N,T}) \geqslant \frac{3\widehat \mu \lambda}{4}\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Тогда $M_1 \ll_{s} N^s (\lambda \ln\ln N)^{-1}$ согласно лемме 6. Из леммы 10, в которой $\alpha=2^s \lambda ((s-2)!\, 4)^{-1}$, и условия $\lambda\leqslant \ln^s N$ вытекает
Осталось оценить величину $M_3$. Для краткости положим $\mu=\mu(N;\Omega_{N,T})$. Согласно (6.4), (6.11) и условию $\lambda \leqslant (\ln N)^{(s-1)/s}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\mu}{\widehat \mu} &=\frac{\ln T}{(s-1)\ln\ln N} + O_s\biggl(\frac{1}{\ln\ln N}\biggr) \\ &=1 + \frac{\ln \lambda}{(s-1)\ln\ln N} + O_s\biggl(\frac{\ln\ln\ln N}{\ln\ln N}\biggr) \leqslant 1+ \frac{1}{s} + O_s\biggl(\frac{\ln\ln\ln N}{\ln\ln N}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $s\geqslant 3$, то, не умаляя общности, можно считать, что $\mu /\widehat \mu \leqslant 7/5$. Так как $\lambda \geqslant 2$, то из неравенства $S(a,N;\Omega_{N,T}) \geqslant 3\widehat \mu \lambda /4$ вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(a,N;\Omega_{N,T}) -\mu(N;\Omega_{N,T}) &\geqslant \frac{3}{4}\lambda \widehat \mu -\mu =\lambda \mu\biggl(\frac{3}{4} \frac{\widehat \mu}{\mu} -\frac{1}{\lambda}\biggr) \\ &\geqslant \lambda \mu \biggl( \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7}- \frac{1}{2}\biggr)=\frac{\lambda \mu(N;\Omega_{N,T})}{28}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 12, в которой $\beta=\lambda/{28}$, $T=\lambda(\ln N)^{s-1} \ln \ln N$, заключаем, что Поэтому количество $a\in\mathbb Z^s_N$, удовлетворяющих (6.10), не больше, чем Теорема 1 доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ill21}
Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|