PROBLEMS OF DIFFERENTIAL AND TOPOLOGICAL DIAGNOSTICS. PART 5. THE CASE OF TRAJECTORIAL MEASUREMENTS WITH ERROR

Full Text

1. Случай траекторных измерений с ошибкой

   До сих пор рассматривалась задача диагностики систем управления для случая точных траекторных измерений. Но на практике решение задачи контроля и поиска неисправностей сопровождается наличием случайных возмущений и, в частности, случайных возмущений, накладываемых на вектор диагностирования, который формируется из измеряемых координат вектора состояния.

   Задача контроля для случая точных траекторных измерений сформулирована и решена выше с достаточной полнотой. Сформулируем некоторые промежуточные результаты, которые показывают, что и задача диагностирования в случае траекторных измерений с шумом может быть решена однозначно.

   Сначала, в рамках теорем диагностирования предыдущих работ [1–4], дадим оценку погрешности в случае траекторных измерений с ошибкой, ограниченной по модулю.

   Полученные оценки справедливы и в случае, если в рассмотрение вводится вектор диагностирования z(t), составленный из измеряемых координат вектора состояния.

   Мы не будем останавливаться на доказательстве полученных оценок при выборе числа измерений фазовых траекторий на некотором интервале времени [0, τ ]: это сравнительно просто можно сделать в

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 30–39

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 3, pp. 30–39 31

    

   рамках доказательства теоремы диагностирования. Сразу перейдем к рассмотрению общего подхода в диагностике в случае траекторных измерений с шумом [5; 6].

   Сначала отметим случай меньшей размерности вектора диагностирования

   z(t) = (xd1 , . . . , xdq ) = (z1, . . . , zq ), q = 1, . . . , n, (1.1)

   то есть случай, когда

   N q

    

   или

   SN

    

   =

    

   ∑ ∑

   j

   i=1 k=1

    

   N q

   |zijk − zik |2, q < n, (1.2)

   SN

    

   =

    

   ∑ ∑

   j

   i=1 k=1

   2

    

   |zik − zi−1k − ∆izjk | , q < n, (1.3)

   поскольку компоненты вектора диагностирования несут достаточную информацию о характере функций

   fj (j = 1, . . . , l) в правых частях уравнений

   x′ = fj (x, t), j = 1, . . . , l. (1.4)

   Рассмотрим несколько видоизмененный функционал (1.3), который для простоты запишем в виде [7–9]

   N

   

   

   Sgj = ∑ |xi − xi−1 + ∆ixj |, j = 0, . . . , l, (1.5)

   i=1

   где ∆ixj описывается общей одношаговой формулой

   

   ∆ixj = hΦj (xi−1, h) (1.6)

   и, как наиболее простой, формулой Эйлера

   

   

   Φj (xi−1, h) = fj (xi−1). (1.7)

   Для измеренных значений введем обозначения

   x¯(t) = x(t) + ξ(t), (1.8)

   где x(t) — действительное положение системы в момент времени t, а ξ(t) — ошибки измерений, ограниченные по модулю

    

   заданными функциями времени ζ(t).

   |ξ(t)| :( ζ(t) (1.9)

   В соответствии с (1.6)–(1.8) составим суммы (1.5) в виде

   N

   Sgj = ∑ |xi − xi−1 + ξi − ξi−1 − hfj (xi−1 + ξi−1)| . (1.10)

   i=1

   В выражении (1.10) функции fj , j = 0, . . . , l, разложим по формуле Лагранжа

   ∂fj

   fj (xi−1 + ξi−1) = fj (xi−1) +

    

   ∂x

    

    

   ξ∗

   i−1

   ξi−1, (1.11)

   где ξ∗

   i 1

    

   −

   лежит на отрезке прямой, соединяющей точки xi−1 и xi−1 + ξi−1.

   Сумму (1.10) с учетом (1.11) запишем в следующем виде:

   N ( ∂f )

    

   Sgj = ∑ xi − xi

    

   −

    

   −

    

    

    

   1 − hfj (x

   i−1

   ) + ξi −

   

   E + h j

   ξi 1 , (1.12)

    

   i=1

   где E — единичная матрица.

   ∂x ξ∗

   i−1

   До сих пор мы ограничивались рассмотрением формулы Эйлера (1.7). Учтем следующее приближение в разложении по формуле Тейлора и оценим его влияние на сумму (1.12), то есть оценим долю произведенного выше усечения [10–12].

   Имеем

   h2

   xi − xi−1 = hfg (xi−1) +

   

   f ′ (x(t))

   2

   , (1.13)

   i

    

   где t∗

   g

    

   — некоторая точка между ti−1 и ti.

    

   i

    

   t=t∗

   Подставим (1.13) в (1.12). Тогда

   N

    

    

   Sgj = ∑ h(fg (xi

    

   1) − f (x

    

   )) +

    

   2

    

   h f ′ (x(t)) +

    

   i=1

   

   — j i−1 2 g

   i

    

   t∗

   Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 5. Задача диагностирования...

   32 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 5. The case of trajectorial measurements...

    

   +ξi −

    

    

   ( ∂fj )

   

   ∂x

    

   E + h

   ξ∗

   i−1

    

   −

    

   ξi 1 . (1.14)

    

    

    

2. Два принципиальных случая

   Рассмотрим далее два случая.

   1. Пусть j совпадает с действительным функциональным состоянием рассматриваемого объекта, то есть j = g. В этом случае

      N h2

      ( ∂f )

       

       

      Sgj = ∑ f ′ (x(t))

      + ξi −

      

      ∂x

       

      E + h j

       

      ξi 1 . (2.1)

       

       

      g

       

      i=1 2

       

      i

       

      t∗

      −

       

       

       

       

      ξ∗

      i−1

      Функции fj дифференцируемы и имеют все непрерывные частные производные при любом j =

      = 0, . . . , l.

      Поэтому, используя теорему о дифференцировании сложной функции, учитывая определение нормы матрицы и линейность отображения, задаваемого матрицей, получим следующую оценку для величины

       

       

      g

      df (x(t))

       

      ∂f

       

      ∂f

      g g

      g ) :(

      i

       

       

      dt t∗

      ∂t x∗

      ∂x x∗

      ( ∂fg )

      :( max

      |fg (x)|

      :( Lg < +∞ (2.2)

      x∈D∗

       

      

      ∂x

      x

      и оценку для члена, представляющего ошибку усечения:

      h2 h2

      f ′

       

       

      g (x(t))|t∗ :(

      2 i

       

       

      Lg. (2.3)

      2

      Здесь x∗ — некоторая точка траектории, соответствующая моменту времени t = t∗, D∗ — замкнутая

      i i

      область, содержащая все отрезки траектории от τ0 до τ ,

      g

       

      Lg = max |f ′ (x)|.

      x∈D∗

      Дадим теперь оценку ошибки измерения [13–15].

      I ∂fg I

      Так как величины |fg | и

      

      I ∂x I

      ограничены в D∗, то ошибка измерения оценивается следующим

      образом:

      I I

       

      g

       

       

       

      ∂f

       

      I

       

      g

       

      I

       

      I ∂f I

      h ξi−1 :( h I

      I ξi−1 :( hlgζmax, ζmax = max ζ(t). (2.4)

       

      Максимум

      ∂x ξ∗

      i−1

      I ∂x ID∗

       

      I ∂fg I

      [0,τ ]

      lg = max I I

      

      x∈D∗ I ∂x I

      I I

      существует, так как D∗ — замкнутая область и fg — регулярная функция.

      Во всяком случае

      I ∂fg I

      

      ∂fgk 2

      I I ∑

      

      

      I I :( I .

      I ∂x I

      k,p ∂xp

      В силу (2.4) будет ограниченной ошибка одного шага измерения

      ( ∂fg )

       

       

       

      g

       

      ( ∂f )

       

      

      ∂x

       

      ξi −

      E + h

      

      ∂x

       

      ξi−1 :( |ξi| +

      E + h

      ξi−1 :(

      ξ∗

      i−1

      ξ∗

      i−1

      :( |ξi| + |ξi−1| + hlgζmax :( 2ζmax + hlgζmax. (2.5)

      В силу (2.3) и (2.5) получим оценку суммы (2.1) (так как Nh = τ ):

      h2

      

      Sgj :( N 2 Lg + 2Nζmax + Nhlgζmax =

      τ 1

      

      

      = 2 Lgh + 2τζmax h

      + τlgζmax. (2.6)

      Из (2.6) следует, что в рассматриваемом случае Sgj → +∞ при h → 0 из-за накопления модулей ошибки измерения. А вот при h → 0 слагаемое τlgζmax ошибки измерения составляет все меньшую и

      меньшую часть Sgj [16–18].

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 30–39

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 3, pp. 30–39 33

       

   2. Пусть номер системы j не совпадает с действительным функциональным состоянием объекта, то есть j ̸= g. В этом случае, в соответствии с (1.14),

 

h(f (x

 

 

g i

1) − f (x

)) +

 

 

2

 

h f ′ (x)

 

 

h2

:( hLgj + Lg

 

и, значит,

— j i−1

 

h2

i

 

2 g t∗ 2

Sgj :( NhLgj + N 2 Lg + 2Nζmax + Nhlgζmax =

τ 1

где

= τ Lgj + 2 Lgh + 2τζmax h + τlgζmax, (2.7)

Lgj = max |fg (x) − fj (x)|.

x∈D∗

Таким образом, и в этом случае за счет накопления ошибки измерения в (2.7) величина Sgj → +∞

при h → 0. Ошибка усечения в случае j ̸= g стремится к

τ (Lgj + lgζmax).

Так как ошибка измерения стремится к +∞ при N → +∞, а ошибка усечения при N → +∞

составляет все меньшую и меньшую часть Sgj , то при h → 0 вероятность разделения действительной

траектории объекта с происшедшей неисправностью и траекторий j систем стремится к нулю.

Возникает задача о выборе такого наименьшего значения h = h∗, при котором еще возможно

разделение траекторий. В соответствии с (2.6)

 

min Sgj = min τ

( 1

Lgh + 2

ζmax

)

+ lgζmax =

h h 2 h

 

достигается при

(√ ζmax

= τ +

Lg

√ Lg

ζmax

√

)

+ lgζmax

 

(2.8)

h = h¯ = 2

ζmax . Lg

Значение наилучшего значения N = N ∗ будет, соответственно, равно

√

N = N¯ = 2τ

Lg . ζmax

 

Таким образом, как в случае точных траекторных измерений, так и в случае траекторных измерений с ошибкой, ограниченной по модулю известной функцией времени, можно для каждого j = 1, . . . , l, в соответствии с (1.5), найти такие величины

Sgj, M ∗ = max Sgj, h∗ = min Shj, N ∗, τ ∗,

j xj j j h j j

0 ∈πk

что траектории систем с номерами j = 1, . . . , l с помощью алгоритмов диагностирования, сформулированных в предыдущем разделе, будут разделяться однозначно [19–21].

Вместо сумм (1.5), в которых производится суммирование модулей отклонений полей направлений, будем рассматривать суммы самих отклонений. Составим следующие суммы:

 

N N

Sgj = ∑(xi − xi−1 − hfj (xi−1)) = (xN − x0) − ∑ hfj (xi−1) =

i=1

i=1

 

N

= (xN − x0) + (ξN − ξ0) − ∑ h

(

fj (xi−1) +

 

∂fj

)

ξi−1 =

 

i=1

∂x

 

 

x∗

i−1

( N )

= xN − x0 − ∑ hfj (xi−1)

( N

+ ξN − ξ0 − ∑ h

∂fj

)

ξi 1

 

. (2.9)

 

Величина

 

i=1

 

N

−

 

∑ hfj (xi 1)

i=1

 

i=1

∂x

 

−

x∗

i−1

Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 5. Задача диагностирования...

34 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 5. The case of trajectorial measurements...

 

в (2.9) есть интегральная сумма. Разлагая ее на каждом из интервалов времени [ti−1, ti] по формуле Тейлора и затем суммируя, получим

 

N

∑ hfj (xi

i=1

τ

∫

−1) =

τ0

h

 

N 2

2

 

fj (x(t))dt − ∑

i=1

 

 

∂fj

∂x

 

 

x∗∗

i−1

 

i−1

 

fj (x∗ ),

где x∗∗

i 1

 

−

— набор N некоторых “средних точек”.

Следовательно, возвращаясь к (2.9), получим

τ

∫

 

N h2 ∂f

Sgj = (xN − x0 −

τ0

fj (x(t))dt + ∑

2

i=1

j

∂x

 

 

x∗∗

i−1

i−1

 

fj (x∗

))+

 

N

+(ξN − ξ0 − ∑ h

j

 

 

 

∂f

 

ξi 1) =

 

i=1

τ

∂x

 

−

x∗

i−1

∫ N h2 ∂f

2

 

= (fg (x(t)) − fj (x(t)))dt + ∑

τ0 i=1

j

∂x

 

 

x∗∗

i−1

i−1

 

fj (x∗ )+

N

+(ξN − ξ0 − ∑ h

j

 

 

 

∂f

 

ξi 1). (2.10)

 

I ∂fj I

 

i=1

∂x

 

−

x∗

i−1

Так как нормы |fj | и I ∂x I ограничены, то ошибка усечения (в случае j = g) в (2.10) стремится к

I I

нулю при h → 0, а ошибка измерения ограничена. Ошибка измерения с уменьшением h так же, как и

с уменьшением N , будет уменьшаться.

При j ̸= g ошибка измерения остается того же порядка, а ошибка усечения при h → 0 стремится к

τ

∫

 

Таким образом,

Igj =

τ0

(fg (x(t)) − fj (x(t)))dt. (2.11)

 

Sgj = Igj + ζ.

Если Igj ≫ ζ, то разделение траекторий с помощью функционала (2.11) и сформулированных ранее

алгоритмов будет осуществляться однозначно.

 

3. Дальнейшие вероятностные оценки

Рассмотрим далее случай траекторных измерений с шумом. До сих пор предполагалось, что ошибка измерения ξ(t) в (1.8) ограничена по модулю заданной функцией времени (1.9). Предположим теперь, что эта ошибка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с дисперсией σ2. Оценим дисперсию случайной ошибки измерения [22–24]:

( ( ∂fg ) )

( ∂fg )

∂x

 

D ξi −

E + h

ξ∗

i−1

ξi−1

∂x

 

= Dξi + D

E + h

ξ∗

i−1

ξi−1 :(

:( σ2 + σ2(1 + hlg )2 ?: 2σ2. (3.1)

Таким образом, средняя ошибка одного шага измерения имеет порядок σ√2. Учитывая (2.3) и (3.1),

можно провести следующую оценку:

N N (

∂fg )

 

 

Sgg :( ∑ |xi − xi−1 − hfg (xi−1)| + ∑ ξi −

E + h

 

 

ξi−1 ∼=

i=1

i=1

∂x ξ∗

i−1

( h2

√ ) ( 1

1 √ )

∼= N

Lg + σ 2 = τ

2

Lgh + σ 2

2 h

. (3.2)

Выражение (3.2) показывает, что Sgg → +∞ при h → 0.

В случае j ̸= g, в соответствии с (1.14), можно провести оценку следующего вида:

2 2

 

h2 √

Sgj ∼= NhLgj + N 2 Lg + Nσ

2 + 2hlg + h lg =

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 30–39

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 3, pp. 30–39 35

 

1 1 √ 2 2

= τ Lgj + 2 τhLg + hτσ

2 + 2hlg + h lg. (3.3)

Таким образом, и в этом случае за счет накопления случайной ошибки измерения Sgj → +∞ при

h → 0.

Ошибка усечения при этом стремится к τ Lgj . Так как средняя ошибка измерения стремится к бесконечности при N → +∞, а ошибка усечения при N → +∞ составляет все меньшую и меньшую часть от Sgj , то при h → 0 вероятность разделения траекторий систем стремится к нулю [25; 26].

Выберем такое наименьшее значение h = h∗, при котором еще возможно разделение траекторий.

Оценим порядок наилучшего значения h = h∗. Минимум

( h 1 )

√ √

 

достигается при

Sgg ∼= min τ

h

2 Lg +

σ√2 = τ

h

2 2σLg

h = h∗ ∼=

√

 

2

 

√2σ

.

L

g

Соответственно, порядок наилучшего значения N таков:

√ Lg

N = N ∗ ∼= τ

√ .

2 2σ

Таким образом, дана оценка для наилучших значений h = h∗, N = N ∗ и, значит, τ = τ ∗. Если при этих наилучших значениях ошибка усечения достаточно мала, то диагностика неисправностей с помощью функционалов (1.5) и, значит, функционалов (1.12) в случае траекторных измерений с шумом позволяет получить в некотором смысле наилучший апостериорный набор возникших неисправностей. Если раньше, как показано в случае точных траекторных измерений (предыдущая работа данного цикла), пользуясь в алгоритмах диагностирования константами Mj или Sg , мы не могли отбросить верную гипотезу, то в случае траекторных измерений с шумом при любом выборе констант алгоритма

диагностирования всегда будет существовать такая возможность [27; 28].

Зададимся достаточно малой ненулевой допустимой вероятностью ε. Для разделения траекторий выберем постоянные Mj такие, что для любой траектории j-й системы

P {Sjj ?: Mj } < ε.

Иначе говоря, вероятность ложного срабатывания должна находиться в допустимых границах. При этом в случае траекторных измерений с шумом будем пользоваться теми же алгоритмами диагностирования, что и в случае точных траекторных измерений.

Перейдем теперь к рассмотрению метода интегралов в случае траекторных измерений с шумом.

Как уже отмечалось, ошибка усечения в (2.10) (j = g) не превосходит

h

и эта ошибка стремится к нулю при h → 0.

Средняя ошибка обусловлена суммой

h ∑ ∂fg

 

N

τ 2 Lg,

 

 

∂x

ξi−1

i=1

ξ∗

i−1

и по теореме о сложении дисперсий независимых случайных величин будет меньше или равна hσ√Nlg ,

а, следовательно, средняя ошибка измерения не будет превышать величины

σ√2 + hσ√Nlg = σ√2 + σ√τhlg (3.4) и будет стремиться к σ√2 при h → 0.

Формула (3.4) показывает, что средняя ошибка измерения зависит от постоянного слагаемого σ√2

и от σ√τhlg . С уменьшением h ошибка, обусловленная шумом, уменьшается, и можно ожидать, что

при

1

g

 

h < τl2

будут достигаться достаточно хорошие результаты по разделению систем [29, 30].

В случае j ̸= g, как показывает выражение (2.10) для Sgj , ошибка измерения остается того же порядка, а ошибка усечения при h → 0 стремится к интегралу (2.11). При N → ∞ величина Sgg → ζ,

где ζ— случайная величина, распределенная по нормальному закону с дисперсией 2σ2, а

Sgj → Igj + ζ.

Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 5. Задача диагностирования...

36 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 5. The case of trajectorial measurements...

 

Если Igj значительно больше дисперсии случайной величины ζ, то разделение траекторий систем с помощью интеграла (2.11) в случае траекторных измерений с шумом будет осуществляться с высокой точностью. Константы Mj могут быть найдены, исходя из условия [32; 32]

P {|Sjj | ?: Mj } < ε.

В дальнейшей работе данного цикла перейдем к статистическому решению задачи дифференциальной диагностики.

 

About the authors

M. V. Shamolin

Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: shamolin@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-9534-0213

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, leading researcher of the Institute of Mechanics, academic of the Russian Academy of Natural Sciences

Russian Federation, 1, Leninskie Gory, Moscow, 119192, Russian Federation.

References

Supplementary files