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Points, lines, and circles:
some contributions to combinatorial geometry
Scheucher, Manfred
In this dissertation we investigate some problems from the field of combinatorics and computational geometry which involve basic geometric entities (points, lines, and circles).
In the first part we look at Erdös-Szekeres type problems: The classical theorem by Erdös and Szekeres from 1935 asserts that, for every natural number 𝑘, every sufficiently large point set in general position contains a subset of 𝑘 points in convex position - a so called "𝑘-gon". We will investigate the famous variant of "𝑘-holes", which are 𝑘-gons with the additional property that no other point lies in the convex hull of the 𝑘-hole. This variant differs from the original setting as there exist arbitrarily large point sets which do not contain 7-holes. Besides the existence of holes, also the number of 𝑘-holes in sets of 𝑛 points have been studied intensively. It is well-known that point configurations contain at least quadratically many 3- and 4-holes, respectively, while point configurations with only quadratically many holes exist. Concerning 5- and 6-holes, the best published lower bounds were only linear at the time when I started my studies.
In this thesis we present the first superlinear lower bound on the number of 5-holes, which is the first asymptotic improvement since Harborth's linear lower bound from 1978. For our proof we combine classical paper-and-pen proofs with lemmas that were proven using heavy computer asstistance. We also develop a framework based on Boolean logic to investigate various combinatorial properties of point sets with the aid of SAT solvers.
In the second part we investigate arrangements of circles. Towards a better understanding of their structure and also to get rid of geometric difficulties, we look at the more general setting of "arrangements of pseudocircles" which was first introduced by Grünbaum in the 1970's. An arrangement of pseudocircles is a collection of simple closed curves on the sphere or in the plane such that any two of the curves are either disjoint or intersect in exactly two points, where the two curves cross. In his book, Grünbaum conjectured that every digon-free arrangement of n pairwise intersecting pseudocircles contains at least 2𝑛-4 triangular cells. We present arrangements to disprove this conjecture and give new bounds on the number of triangular cells for various classes of arrangements. Furthermore, we study the "circularizability" of arrangements: it is clear that every arrangement of circles is an arrangement of pseudocircles, however, deciding whether an arrangement of pseudocircles is isomorphic to an arrangement of circles is computationally hard. Using a computer program, we have enumerated all combinatorially different arrangements of up to 7 pseudocircles. For the class of arrangements of 5 pseudocircles and for the class of digon-free intersecting arrangements of 6 pseudocircles, we give a complete classification: we either provide a circle representation or a non-circularizability proof. For these proofs we use incidence theorems like Miquel's and arguments based on continuous deformation, where circles of an assumed circle representation grow or shrink in a controlled way.
In the third and last part we summarize the results from Part I and Part II, and discuss further questions.
In dieser Dissertation untersuchen wir Probleme aus den Gebieten Kombinatorik und Algorithmische Geometrie auf elementaren geometrischen Entitäten (Punkten, Linien und Kreisen).
Im ersten Teil betrachten wir sogenannte "Erdös--Szekeres type problems": Ein klassisches Resultat von Erdös und Szekeres aus dem Jahr 1935 besagt, dass für jede natürliche Zahl 𝑘 jede hinreichend große Punktmenge in allgemeiner Lage eine Teilmenge von 𝑘 Punkten in konvexer Lage enthält - sogenannte "𝑘-Gons". Wir untersuchen eine berühmte Variation: Ein "𝑘-Loch" ist ein 𝑘-Gon mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass kein weiterer Punkt in der konvexen Hülle des 𝑘-Lochs liegt. Diese Variante unterscheidet sich vom ursprünglichen Problem da beliebig große Punktmengen ohne 7-Löcher existieren. Neben der Existenz von 𝑘-Löchern wurde auch die Anzahl an 𝑘-Löchern in 𝑛-Punktmengen intensiv untersucht. Jede Punktmenge hat mindestens quadratisch viele 3-Löcher und 4-Löcher, und Punktmengen mit nur quadratisch vielen Löchern existieren. Zu Beginn meines Studiums waren für 5-Löcher und 6-Löcher nur lineare untere Schranken bekannt.
In dieser Dissertation präsentieren wir die erste superlineare untere Schranke für die Anzahl an 5-Löchern. Dies ist die erste asymptotische Verbesserung seit Harborths linearer Schranke aus dem Jahr 1978. Für unseren Beweis kombinieren wir traditionelle Beweismethoden mit Lemmas, welche mithilfe von Computerunterstützung verifiziert wurden. Des Weiteren entwickeln wir ein auf Boolescher Aussagenlogik basierendes Framework, welches die Untersuchung diverser kombinatorischer Eigenschaften von Punktmengen mittels SAT-Solver erlaubt.
Im zweiten Teil untersuchen wir Arrangements von Kreisen. Um ein besseres Verständnis derer Strukturen zu erhalten und um geometrischen Schwierigkeiten auszuweichen, betrachten wir "Arrangements von Pseudokreisen" - eine Verallgemeinerung von Kreisarrangements, die von Grünbaum in den 1970er Jahren eingeführt wurde. Ein Pseudokreisarrangement ist eine Menge von einfachen geschlossenen Kurven auf der Sphäre oder in der Ebene mit der Eigenschaft, dass je zwei dieser Kurven disjunkt sind oder sich in genau zwei Punkten schneiden. In seinem Buch präsentierte Grünbaum die Vermutung, dass jedes Digon-freie Arrangement von 𝑛 sich paarweise schneidenden Pseudokreisen mindestens 2𝑛-4 Dreieckszellen enthält. Wir präsentieren Arrangements, die diese Vermutung widerlegen und geben neue Schranken für die Anzahl an Dreieckszellen für unterschiedliche Klassen von Arrangements an. Des Weiteren untersuchen wir die "Kreisbarkeit" von Arrangements: Offensichtlich ist jedes Kreisarrangement auch ein Pseudokreisarrangement - es ist jedoch schwer zu entscheiden, ob ein gegebenes Pseudokreisarrangement durch Kreise representiert werden kann. Mit Hilfe eines Computerprogrammes konnten wir alle kombinatorisch unterschiedlichen Arrangements mit bis zu 7 Pseudokreisen enumerieren. Für Arrangements mit 5 Pseudokreisen und für Digon-freie Arrangements von 6 sich paarweise schneidenden Pseudokreisen geben wir eine vollständige Klassifizierung an: Entweder geben wir eine Kreisrepresentation oder einen Nichtkreisbarkeitsbeweis an. Diese Beweise basieren auf Inzidenztheoremen (z.B. dem Satz von Miquel) und Deformations-argumenten, in welchen wir Kreise einer angenommenen Kreisrepresentation in einer kontrollierten Weise ausweiten oder schrumpfen.
Im dritten und letzten Teil fassen wir die Ergebnisse aus Teil I und Teil II zusammen, und diskutieren weiterführende Fragen.
