We show that external randomization may enforce the convergence of test statistics to their limiting distributions in particular cases. This results in a sharper inference. Our approach is based on a central limit theorem for weighted sums. We apply our method to a family of rank-based test statistics and a family of phi-divergence test statistics and prove that, with overwhelming probability with respect to the external randomization, the randomized statistics converge at the rate $\mathit{O}(1/\mathit{n})$ (up to some logarithmic factors) to the limiting chi-square distribution in Kolmogorov metric.

Nous montrons que l’ajout de randomisation externe peut guider la convergence des statistiques de test vers leurs lois limites dans certains cas particuliers. Il en résulte une inférence plus précise. Notre approche est basée sur un théorème central limite pour les sommes pondérées. Nous appliquons notre méthode à une famille de statistiques de test basées sur les rangs et à une famille de statistiques de test de phi-divergence et nous prouvons que, avec grande probabilité par rapport à la randomisation externe, les statistiques randomisées convergent à un taux $\mathit{O}(1/\mathit{n})$ (en négligeant certains facteurs logarithmiques) vers la distribution limite du chi-deux dans la distance de Kolomogorov.