We prove an index theorem of Atiyah–Singer type for Dirac operators on manifolds with a Lie structure at infinity (Lie manifolds for short). With the help of a renormalized supertrace, defined on a suitable class of regularizing operators, the proof of the index theorem relies on a rescaling technique similar in spirit to Getzler's rescaling. With a given Lie manifold we associate an appropriate integrating Lie groupoid. We then describe the heat kernel of a geometric Dirac operator via a functional calculus with values in the convolution algebra of sections of a rescaled bundle over the adiabatic groupoid. Finally, we calculate the right coefficient in the heat kernel expansion by deforming the Dirac operator into a polynomial coefficient operator over the rescaled bundle and applying the Lichnerowicz theorem to the fibers of the groupoid and the Lie manifold.
Résumé
Nous prouvons un théorème de l'indice de type Atiyah–Singer pour des opérateurs de Dirac sur des variétés munies d'une structure de Lie à l'infini (en abrégé : variétés de Lie). À l'aide d'une supertrace renormalisée, définie sur une classe appropriée d'opérateurs régularisants, la preuve du théorème de l'indice repose sur une technique de rééchelonnement similaire à celle de Getzler. À une variété de Lie donnée, nous associons un groupoïde de Lie intégrant approprié. Nous décrivons ensuite le noyau de chaleur d'un opérateur de Dirac géométrique par un calcul fonctionnel à valeurs dans l'algèbre de convolution des sections d'un fibré rééchelonné sur le groupoïde adiabatique. Enfin, nous calculons le coefficient approprié du développement du noyau de chaleur en déformant l'opérateur de Dirac dans un opérateur de coefficients polynomiaux sur le fibré rééchelonné et en appliquant le théorème de Lichnerowicz aux fibres du groupoïde et à la variété de Lie.