A method for the design of first- and higher-degree recursive differentiators with constant group-delay characteristics using a least-squares approach is presented. In this method, a mean-square error based on the difference between the desired and actual frequency responses is formulated in a quadratic form. Quadratic programming is employed wherein the constraint on stability is accomodated to design stable differentiators. Our method is compared with the linear programming approach in terms of the computational complexity and the variation of the magnitude and group-delay errors with frequency. It is shown that the differentiators designed using our method has a much lower computational complexity and smaller variation of the magnitude and group-delay errors with frequency than those designed using the linear programming approach. The method has been extended to the design of frequency-selective differentiators in which the differentiation is performed over any prescribed passband. Finally, the design of maximally-accurate differentiators is presented in which derivative constraints are also accomodated in the error function.
Eine Methode für den Entwurf von rekursiven Differenzierern erster und höherer Ordnung mit konstanter Gruppenverzögerungscharakteristik, die eine Methode der kleinsten Quadrate anwendet, wird vorgestellt. In dieser Methode wird ein Fehlerquadrat, basierend auf der Differenz zwischen der gewünschten und wirklichen Frequenzantwort, in einer quadratischen Form entwickelt. Quadratisches Programmieren wird angewendet, wobei die Einschränkungen für die Stabilität erfüllt werden, um stabile Differenzierer zu entwerfen. Unsere Methode wird mit dem Ansatz der linearen Programmierung in Hinblick auf die Komplexität der Berechnungen, der Schwankungen der Größe und des Gruppenverzögerungsfehlers mit der Frequenz verglichen. Es wird gezeigt, daß die Differenzierer, die mit Hilfe unserer Methode entworfen wurden, eine geringere Komplexität der Berechnung, eine kleinerer Schwankungen der Größe und des Gruppenverzögerungsfehlers mit der Frequenz aufweisen als jene, die mit dem Ansatz für lineares Programmieren entworfen wurden. Diese Methode wurde auf den Entwurf von frequenzselektiven Differenzieren ausgeweitet, mit welchen die Differenzierung auf jedem vorgeschriebenen Bandfilter angewendet werden kann. Schließlich wird der Entwurf von maximal genauen Differenzierern vorgestellt, bei denen die Einschränkungen der Ableitung auch in der Fehlerfunktion erfüllt werden.
Nous présentons une méthode de conception de différentiateurs récursifs du premier ordre et d'ordre plus élevé ayant des caractéristiques de retard de groupe constant à l'aide d'une approache aux moindres carrés. Dans cette méthode, une erreur quadratique moyenne basée sur la différence entre les réponses en fréquences désirée et réelee est formulée sous une forme quadratique. La programmation quadratique employeé incorpore une contrainte de stabilité assurant la conception de différentiateurs stables. Notre méthode est comparée avec l'approche par programmation linéaire en termes de complexité de calcul et de variation des erreurs d'amplitude et de retard de groupe en fonction de la fréquence. Il est montré que les différentiateurs conçus à l'aide de notre méthode présentent une complexité de calcul bien moins grande et une plus petite variation des erreurs d'amplitude et de retard de groupe en fonction de la fréquence que ceux conçus avec l'approche par programmation linéire. La méthode a été étendue à la conception de différentiateurs sélectifs en fréquence dans lesquels la différentiation est effectuée dans toute bande passante prescrite. Enfin, la conception de différentiateurs maximalement précis dans laquelle des contraintes sur la dérivée sont incorporées dans la fonction d'erreur est présentée.