On the design of efficient second and higher degree FIR digital differentiators at the frequency π/(any integer)

Abstract

In a number of signal processing applications, digital differentiators (DD) of degree greater than unity performing over a narrow band of frequencies are required. The minimax relative error DDs are especially suitable for broad band applications, but they become inefficient when adopted for narrow band situations. This paper proposes second and higher degree DDs which are maximally accurate at the spot frequency: π/(any integer). Mathematical relations have been established between the weighting coefficients of the first degree FIR digital differentiators which are maximally linear at the frequency π/(any integer) and those of the proposed (second and higher degree) differentiators. It has been shown that very high accuracies in the frequency response of the approximation are achievable with attractively low order of the structure for the suggested differentiators. As an example, with just 16 multiplications per input sample of the signal, it is possible to obtain a third degree differentiator over a frequency bandwidth of 0.20π centred around ω = π/3, with an accuracy no worse than 99.999%. The phase error is zero over the entire frequency band 0⩽ω⩽π of operation.

Zusammenfassung

In verschiedenen Signalverarbeitungsanwendungen werden digitale Differenziatoren (DD) gebraucht, welche einen Grad grösser als eins haben, und in einem schmalen Frequenzband arbeiten müssen. DDs mit einem minimax relativen Fehler sind geeignet für Breitbandanwendungen, werden jedoch ineffizient in Schmalbandsituationen. In dieser Arbeit werden DDs zweiten und höheren Grades eingeführt, welche maximale Genauigkeit bei einer bestimmten Frequenz der Form π/(ganze Zahl) haben. Mathematische Beziehungen zwischen den Gewichten der DDs ersten Grades welche maximal linear bei dieser Frequenz sind and denjenigen der hier eingeführten DDs werden hergeleitet. Es wird gezeigt, dass eine hohe Genauigkeit des Frequenzgangs erreicht werden kann mit erstaunlich niedrigem Grad. Zum Beispiel ist es möglich, mit nur 16 Multiplikationen pro Eingangswert über eine Bandbreite von 0.20π um ω=π/3 einen Differenziator dritten Grades mit einer Genauigkeit von mindestens 99.999% zu erhalten. Der Phasenfehler ist null über das ganze Frequenzband 0⩽ω⩽π.

Résumé

Un grand nombre d'applications en traitement du signal requièrent des différentiateurs digitaux (DD) de degré supérieur à l'unité et opérant dans une bande de fréquence étroite. Les DD à erreur relative minimax sont particulièrement bien adaptés à des applications large bande mais deviennent inefficaces losqu'on les adopte pour des applications bande étroite. Cet article propose des DD de degré deux et plus qui sont précis maximalement à la fréquence cible π/(un entier quelconque). Nous établissons des relations mathématiques entre les coefficients de pondération de différentiateurs digitaux FIR du premier degré qui sont maximalement linéaires à la fréquence π/(un entier quelconque) et ceux des différentiateurs proposés (degré deux et plus). Nous montrons que des précisions très élevées de la réponse en fréquence de l'approximation sont atteignables avec un ordre attractivement peu élevé de la structure pour les différentiateurs suggérés. Citons comme exemple qu'avec seulement seize multiplications par échantillon d'entrée du signal, il est possible d'obtenir un différentiateur du troisième degré dans une bande de fréquence de 0.20π centrée autour de ω=π/3, avec une précision au moins aussi bonne que 99.999%. L'erreur de phase est nulle dans toute la bande de fréquence 0⩽ω⩽π d'opération.