Feedback control of linear systems with distributed delay

Abstract

The problem of optimal control of linear systems containing lumped delay, given by differential-difference equations, has been pursued by several authors. However, transportation-lags are better described by distributed delays giving systems that are described by a set of coupled partial and ordinary differential equations. The lumped part of the system is described by ordinary differential equations and the distributed part of the system is described by partial differential equations. The lumped as well as distributed parts are subject to control. The present paper discusses the control of such systems with quadratic performance measures. Riccati-like equations are derived and a technique for their numerical solution is presented.

Résumé

Le problème de contrôle optimal de systèmes linéaires contenant un délai groupé, donné par équations de différence différentielles, a été poursuivi par divers auteurs. Cependant les délais de transport sont mieux décrits par délais répartis donnant des systèmes qui sont décrits par un ensemble d'équations différentielles ordinaires et partielles accouplées. La partie groupée du système est décrite par équations différentielles ordinaires et la partie répartie est decrite par équations aux dérivées partielles. Les parties groupées et réparties sont soumises au contrôle. Le présent texte discute du contrôle de tels systèmes avec mesures de performance quadratique. Des équations du type Riccati sont dérivées et l'on présente une technique pour leur solution numérique.

Zusammenfassung

Das Problem der optimalen Regelung linearer Systeme mit konzentrierter Totzeit, die durch Differential-Differenzen-Gleichungen gegeben sind, wurde von verschiedenen Autoren weiter verfolgt. Jedoch werden Transport-Totzeiten besser durch verteilte Totzeiten beschrieben, die Systeme ergeben, die sich durch einen Satz gekoppelter partieller und gewöhnlicher Differentialgleichungen darstellen lassen. Der konzentrierte Teil des Systems wird durch gewöhnliche Differentialgleichungen und der verteilte Teil des Systems wird durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Sowohl die verteilten als auch die konzentrierten Teile sind der Regelung unterworfen. Die vorliegende Arbeit diskutiert die Regelung solcher Systeme mit quadratischem Gütemaß. Riccatigleiche Gleichungen werden abgeleitet und eine Technik für ihre numerische Lösung dargestellt.

Реферат

Пpoблeмa oптимaльнoгo yпpaвлeния, линeйными cиcтeмaми, co cocpeдoтoчeнным зaпaздывaниeм, oпиcывaeмaя paзнocтными диффepeнциaльными ypaвнeниями paccмaтpивaлcь pядoм aвтopoв. Oднaкo тpaнcпopтнoe зaпaздывaниe лyчшe oпиcывaть pacпpeдeлeлeнными зaпaздывaниями в дaнныч cиcтeмaч, a нe cиcтeмaми oбыкнoвeнныч диффepeнциaльныч ypaвнeний, илм ypaвнeниями в чacтныч пoизвoдныч. Cocpeдoтoчeннaя чacть cиcтeм oпиcывaeтcя oбыкнoвeнным диффepeнциaльным ypaвнeниeм, a pacпpeдeлeннaя чacтьдиффepeнкиaльными ypaвнeниями в чacтныч пpoизвoдныч. Oбe чacти являютcя oбъeктaми yпpaвлeния. Дaннaя cтaтья paccмaтpивaeт yпpaвлeниe тaкими cиcтeмaми c квaдpaтичнoй мepoй кaчecтвa. Бывoъятcя типa Pиккeтa и дaeтcя мeтoд ич чиcлeннoгo peшeния.