Topological stable rank of H ^∞(Ω) for circular domains Ω

Abstract

Let Ω be a circular domain, that is, an open disk with finitely many closed disjoint disks removed. Denote by H ^∞(Ω) the Banach algebra of all bounded holomorphic functions on Ω, with pointwise operations and the supremum norm. We show that the topological stable rank of H ^∞(Ω) is equal to 2. The proof is based on Suárez’s theorem that the topological stable rank of H ^∞($\mathbb{D}$) is equal to 2, where $\mathbb{D}$ is the unit disk. We also show that for circular domains symmetric to the real axis, the Bass and topological stable ranks of the real-symmetric algebra H ^∞_ℝ (Ω) are 2.

Пезюме

Пусть Ω — круговая область, то есть некоторый открытый круг, иэ которого удалëн конечный набор замкнутых попарно непересекающихся кругов. Обозначим H ^∞(Ω) банахову алгебру всех ограниченных голоморфных функций на Ω с поточечными операциями и sup-нормой. В работе доказывается, то устойчивый топологический ранг H ^∞(Ω) равен 2. Доказательство основано на теореме Суареза, согласно которой устойчивый топологический ранг H ^∞($\mathbb{D}$) равен 2, где $\mathbb{D}$ — единичный круг. Доказывается также, что для круговых областей, симметрических относительно вешественной оси, ранг Васса и устойчивые топологические ранги вешественной симметрической алгебры H ^∞_ℝ (Ω) также равны 2.