Summary
In the theory of Wannier excitons, the long-range nonanalytical part of the exchange interaction is usually expressed in terms of the dipole matrix element between Wannier functions. We show that it can be expressed in terms of the dipole matrix element between zone-centre Bloch functions, without any assumption on the localization of Wannier functions. We obtain an expression for the longitudinal-transverse splitting in terms of the dipole matrix element between the crystal ground state and the excition state. This is required in order to prove that the transverse upper polariton is degenerate with the longitudinal exciton in the limitk ex→0. A new expression for the short-range part of the exchange interaction is also obtained, which is more suitable for microscopic calculations and which is evaluated for the case of CuCl. The resulting exchange parameter isΔ ex = 12.6 meV, which compares well with the experimental value.
Riassunto
Nella teoria degli eccitoni di Wannier, la parte a lungo raggio e non analitica dell’interazione di scambio è generalmente espressa in termini dell’elemento di matrice di dipolo fra funzioni di Wannier. Noi mostriamo che può invece essere espressa in termini dell’elemento di matrice di dipolo fra funzioni di Bloch al centro della zona di Brillouin, senza assumere che le funzioni di Wannier siano localizzate. Otteniamo quindi un’espressione per lo splitting longitudinale-trasverso in termini dell’elemento di matrice di dipolo fra stato fondamentale del cristallo e stato eccitonico. Ciò è necessario per dimostrare che il polaritone trasverso del ramo superiore è degenere con l’eccitone longitudinale nel limitek ex→0. Otteniamo inoltre una nuova espressione per la parte a corto raggio dell’interazione di scambio, che è più appropriata per un calcolo microscopico e che calcoliamo nel caso del CuCl. Otteniamo un parametro di scambioΔ ex = 12.6 meV, in buon accordo col valore sperimentale.
Резюме
В теории экситонов Ваннье дальнодействуйщая неаналитическая часть обменного взаимодействия обычно выражается через дипольный матричный элемент между функциями Ваннье. Мы показываем, что эта часть обменного взаимодействия может быть выражена через дипольный матричный элемент между функциями Б=qlоха без каких-либо предположений о локализации функций Ваннье. Мы получаем выражение для продольно-поперечного расщепления в терминах дипольного матричного элемента между основным состоянием кристалла и экситонным состоянием. Это выражение требуется, чтобы доказать, что поперечный поляритон является вырожденным с продольным экситоном в пределеk ex→0. Получается новое выражение для короткодействующей части обменного взаимодействия, которое более удобно для микроскопических вычислений и которое оценивается для случая CuCl. Вычисляется обменный параметрΔ ex = 12.6 мэВ, который хорошо согласуется с экспериментальной величиной.
Similar content being viewed by others
References
F. Bassani, F. Ruggiero andA. Quattropani:Nuovo Cimento D,7, 700 (1986).
A. Quattropani, L. C. Andreani andF. Bassani:Nuovo Cimento D,7, 55 (1986). See alsoF. Bassani andL. C. Andreani:Exciton-polariton states in insulators and semiconductors, inExcited-State Spectroscopy in Solids, Proc. S.I.F., Course XCVI, edited byV. Grassano andN. Terzi (North-Holland, Amsterdam, 1987), p. 1.
J. J. Hopfield:Phys. Rev.,112, 1555 (1958).
D. Fröhlich, E. Mohler andE. Wiesner:Phys. Rev. Lett.,26, 554 (1971).
Y. Onodera andY. Toyozawa:J. Phys. Soc. Jpn.,22, 833 (1967).
W. R. Heller andA. Marcus:Phys. Rev.,84, 809 (1951).
W. Andreoni, M. Altarelli andF. Bassani:Phys. Rev. B,11, 2352 (1975);W. Andreoni, F. Perrot andF. Bassani:Phys. Rev. B,14, 3589 (1976).
M. M. Denisov andV. P. Makarov:Phys. Status Solidi B,56, 9 (1973).
See, for instance,F. Bassani andG. Pastori-Parravicini:Electronic States and Optical Transitions in Solids, Appendix to Chapt. V and VI (Pergamon Press, Oxford, 1974);R. S. Knox:Theory of Excitons (Academic Press, New York, N. Y., 1963).
J. J. Forney, A. Quattropani andF. Bassani:Nuovo Cimento D,22, 153 (1974).
See, for instance,G. D. Mahan:Particle Physics (Plenum Press, New York, N. Y., 1981).
G. Iadonisi andF. Bassani:Nuovo Cimento D,2, 1541 (1983);G. Iadonisi, G. Strinati andF. Bassani: submitted toPhys. Status Solidi B.
Y. Onodera:J. Phys. Soc. Jpn.,49, 1845 (1980).
M. K.-S. Song:J. Phys. (Paris),28, 195 (1967).
M. Cardona:Phys. Rev.,129, 69 (1963).
E. Clementi andC. Roetti:At. Data Nucl. Data Tables,14, 177 (1974).
B. Hönerlage, A. Bivas andVu Duy Phach:Phys. Rev. Lett.,41, 49 (1978).
A. Blacha, S. Ves andM. Cardona:Phys. Rev. B,27, 6346 (1983).
Unfortunately, different notations are used in the literature. The exchange parameterΔ T between triplet and transverse excitons is called Δ in ref. (5) and λ in ref. (18). The spin-orbit splittingΔ SO = −70 meV is called λ in ref. (5) andΔ 0 in ref. (18). Our exchange parameterΔ ex =Δ T +ΔE LT does not appear in (5,18) because in these two papers only the transverse, optically active exciton is considered.
For cubic lattices seeM. H. Cohen andF. Keffer:Phys. Rev.,99, 1128 (1955). For uniaxial crystals seeL. Pirozzi., F. Bassani, E. Tosatti, M. Tosi andG. Harbeke:Solid State Commun.,24, 15 (1977).
F. Bassani andA. Quattropani:Helv. Phys. Acta,58, 244 (1985).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Andreani, L.C., Bassani, F. & Quattropani, A. Longitudinal-transverse splitting in Wannier excitons and polariton states. Il Nuovo Cimento D 10, 1473–1486 (1988). https://doi.org/10.1007/BF02454213
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02454213