Free surface problems in rheological fluid mechanics

Summary

In this paper we review our work on the theory of domain perturbations of the rest state of a viscoelastic fluid and its applications to the science of rheometry. To explain the principle behind the domain perturbation analysis we begin the paper with a discussion of a model problem, free of rheological complications, in which the principles involved may be clearly demonstrated. In Chapter two we formulate the analysis for rheological problems and we present some new, previously unpublished, simplifications of the theory. The canonical forms for stress tensors which perturb the state of rest are given in Chapter three. Chapter four is devoted to the problem of steady rod climbing. There we discuss the main physical features of the motion, the phenomenon of the critical radius, the effects of surface tension and temperature, secondary motions, the applicability of theory and experiment for rheological measurements, and an interesting new “normal stress anplifier”. Unsteady problems of rod climbing are considered in Chapter five. We review recent results on the free surface induced by torsional oscillations of a rod, and we show how to use these results to find the form of the material functions in the canonical forms of the stress. The breathing instability of steady axisymmetric rod climbing (aHopf bifurcation) and the flower instability of time-periodic climb induced by the oscillating rod (a symmetry-breakingPoincaré bifurcation) are also described in Chapter five. In Chapter six we consider other free surface problems: the free surface on a fluid between oscillating planes, die swell and edge effects in rheometers.

Zusammenfassung

Es wird ein Überblick über die Untersuchungen der Verfasser zum Thema „Gebietsstörungen des Ruhezustandes (domain perturbations of the rest state) einer viskoelastischen Flüssigkeit“ und ihre Anwendung auf die Rheometrie gegeben. Zur Erläuterung der Grundlagen der Gebietsstörungs-Analyse wird in Kap. 1 die Diskussion eines Modellproblems vorangestellt, das keinerlei rheologische Komplikationen enthält, so daß die betreffenden Prinzipien in einfacher Weise erläutert werden können. In Kap. 2 wird die Analyse auf rheologische Probleme angewendet, und es werden einige bisher unveröffentlichte Vereinfachungen der Theorie vorgestellt. In Kap. 3 werden die kanonischen Formen der die Störung des Ruhezustandes hervorrufenden Spannungstensoren angegeben. In Kap. 4 wird das Problem des Hochkletterns einer Flüssigkeit am stationär rotierenden Zylinder behandelt. Dabei werden die Hauptmerkmale der Bewegung, das Phänomen des kritischen Radius, die Wirkung von Oberflächenspannung und Temperatur, Sekundärbewegungen, die Anwendbarkeit von Theorie und Experiment auf rheologische Messungen, sowie ein interessanter neuer „Normalspannungs-Verstärker“ diskutiert. In Kap. 5 wird das Problem des Hochkletterns bei instationärer Bewegung des Zylinders betrachtet. Es werden neuere Ergebnisse über die durch eine Torsionsschwingung erzeugte freie Oberfläche referiert, und es wird gezeigt, wie diese Ergebnisse zur Bestimmung der Stoff-Funktionen in der kanonischen Darstellung der Spannungen verwendet werden können. Die „atmende“ Instabilität beim stationären Hochklettern (eine Verzweigungslösung vomHopfschen Typ) und die „blütenförmige“ Instabilität beim zeitlich-periodischen Hochklettern infolge der Zylinder-Oszillation (eine die Symmetrie brechende Verzweigungslösung vomPoincaréschen Typ) werden hier ebenfalls beschrieben. In Kap. 6 schließlich werden weitere an freien Oberflächen auftretende Probleme behandelt: nämlich die freie Oberfläche einer Flüssigkeit zwischen oszillierenden Platten, die Strahlaufweitung und die Randeffekte in Rheometern.