Holomorphy domains and asymptotic forms of scattering amplitudes and partial wave amplitudes

Summary

We study the use and limitations of the integral transforms that relate scattering amplitudesA(s, z) (z=cos θ) to partial wave amplitudesa(l, s). From a modification of the Regge representation we study the holomorphy domains ofA(s, z) in thez plane whena(l, s) is assumed to be holomorphic and of exponential type in a wedge in thel plane. The inverse relation givinga(l, s) in terms ofA(s, z) is also studied under certain assumed analyticity properties ofA(s, z) in the variablez, with particular reference to the holomorphy and asymptotic form inl ofa(l, s). We also study the analytic continuation ins ofa(l, s) using its integral representation in terms ofA(s, z) which is necessary in a relativistic theory. We find that there is a phase difference between the partial wave amplitude defined fors>4M ² and continued tos<4M ², and the amplitude defined fors<4M ². This is related to the kinematic branch cut offa(l, s) alongs<4M ² whenl is complex.

Riassunto

Si studiano l’uso e le limitazioni delle trasformazioni integrali che mettono in relazione le ampiezze di scatteringA(s, z) (z=cos θ) con le ampiezze parziali di ondaa(l, s). Con una modifica della rappresentazione di Regge si studiano i domini di olomorfia diA(s, z) nel pianoz quando si suppone chea(l, s) sia olomorfico e di tipo esponenziale in un cuneo del pianol. Si studia anche la relazione inversa che daa(l, s) in funzione diA(s, z) facendo alcune ipotesi sulle proprietà analitiche diA(s, z) nella variabilez, con particolare riferimento all’olomorfia ed alla forma asintotica dil ina(l, s). Si studia anche la continuazione analitica dia(l, s) ins, facendo uso della sua rappresentazione integrale in funzione diA(s, z), necessaria in una teoria relativistica. Si trova che c’è una differenza di fase tra l’ampiezza parziale dell’onda definita pers>4M ² e continuata ins<4M ² e l’ampiezza definita pers<4M ². Ciò è in rapporto con il taglio del ramo cinematico dia(l, s) lungos<4M ², quandol è complesso.