Pion-pion scattering in the strip approximation - I

Summary

In this paper, results are presented of calculations on pionpion scattering in the strip approximation. A cut-off is made to avoid divergences at high energy. The starting point is an assumed form for the low partial waves based on experiment, supplemented by partial-wave solutions of the pion-pion problem. The spectral functions are calculated and two sets of predictions are made. Firstly, higher elastic partial waves, in particular theD-waves, are evaluated, as are also the low-energy inelastic partial waves. These predictions are relatively insensitive to the cut-off. Secondly, Regge trajectories are deduced from the asymptotic behaviour of the spectral functions. These do depend critically on the cut-off and the object here is so to adjust the action of the cut-off as to reproduce the expected properties of the trajectories. This is partially successful. Solutions are found in which the I=0 trajectory passes approximately throughl = l att = 0 and which at the same time gives a reasonable reproduction of the ρ resonance in the I=1 state. The bootstrap mechanism for the ρ resonance is only possible when a substantial I= 0D-wave at fairly high energy is included in the input. This is identified with the f⁰ resonance recently observed. The f⁰ itself is not reproduced although the low-energyI=0D-wave is probably

Riassunto

Si presentano i risultati dei caicoli dello scattering pione-pione nell’approssimazione a strisce. Si fa un taglio per evitare divergence alle alte energie. Si parte dall’ipotesi di una certa forma per le onde parziali basse, basata sugli esperimenti, con l’aggiunta di soluzioni in onda parziale del problema pione-pione. Si calcolano le funzioni spettrali e si fanno due serie di previsioni. Primo, si valutano le onde parziali elastiche più alte, in particolare le ondeD, ed anche le onde parziali inelastiche di bassa energia. Queste predizioni sono relativamente poco sensibili al taglio. Secondo, si deducono le traiettorie di Eegge dal comportamento asintotico delle funzioni spettrali. Queste dipendono in modo critico dal taglio ed il nostro scopo è qui di regolare l’azione del taglio in modo da riprodurre le previste proprietà delle traiettorie. Si ottiene un successo parziale. Si trovano soluzioni in oui la traiettoriaI = 0 passa approssimativamente per l=1 at = 0 ed al tempo stesso dà una buona riproduzione della risonanza ϱ nello stato I=1. Il meocanismo di bootstrap per la risonanzag è possibile solo quando si include nell’immissione un’ondaD, I-0 sostanziale, di energia abbastanza alta. Questa si identifica con la risonanza f⁰ osservata recentemente. La f⁰ stessa non è riprodotta sebbene l’ondaD, I= 0 di bassa energia sia resa bene dalla teoria. Le predizioni sullo scattering di diffrazione non risultano soddisfacenti e se ne dànno i motivi. Per la traiettoria di Pomerancliuk at = 0 si trova una pendenza d Re α/dt∼0.3 (GeV/c)^-2 ed una pendenza simile si trova per la traiettoria I=1. Se ne deduce che le onde parziali di bassa energia dovrebbero essere relativamente insensibili a queste caratteristiche della teoria delle alte energie.