Computing fourier integrals by means of near-optimal quadrature rules of the Lagrangian type

Abstract

As shown inGustafson-Dahlquist [3] the computation of a large class of slowly convergent Fourier integrals can be cast into the problem of evaluating a certain Stieltjes integral over the interval [0, 1]. If the integrator can be shown to be non-decreasing, generalized Gauss rules can be used but this calls for the solution of a generally ill-conditioned non-linear system. In this paper we report experimental results, which illustrate the fact, that if the abscissae are chosen according to a simple strategy and then the weights are computed from a linear system, the resulting rules of Lagrangian type are almost optimal in a certain sense.

Zusammenfassung

WieGustafson-Dahlquist [3] gezeigt haben, kann für eine große Klasse von Funktionen, die langsam abnehmen, das Problem das Fourierintegral zu berechnen, so umformuliert werden, daß man ein Stieltjesintegral über das Intervall [0, 1] auswerten soll. Wenn man zeigen kann, daß der Integrand nicht-abnehmend ist, können verallgemeinerte Quadraturformeln vom Gaußschen Typus benutzt werden, aber dann muß man ein Gleichungssystem lösen, daß nicht-linear und häufig instabil ist. In diesem Aufsatz präsentieren wir experimentelle Ergebnisse die illustrieren, daß wenn man die Abszissen gemäß einer einfachen Regel wählt und dann die Gewichte von einem linearen System berechnet, Lagrangesche Formeln erhalten werden, die in einer gewissen Meinung fast-optimal sind.