Zwei in Reihe angeordnete Schalter (mit einer Warteschlange dazwischen) bei Exponentialverteilung der Ankünfte und Abgänge

Einführung und Zusammenfassung

Es wird ein System von zwei hintereinandergeschalteten BedienungskanälenA undB untersucht. Ankünfte und Abfertigungen genügen Exponentialverteilungen mit den Parametern λ für die Ankunftsrate und (μ₁, μ₂) für die unterschiedlichen Abfertigungsraten der TeilsystemeA undB. ZwischenA undB befinden sichk Warteplätze. Wenn das SystemA besetzt ist, so läuft das Gesamtsystem über, d. h., ankommende Einheiten können in das besetzte EingangsystemA nicht eintreten und gehen verloren. Die Sonderfälle μ₁=μ₂ undk=0 undk=1 werden beispielsweise beiMorse ²) behandelt. Zunächst wird für eine endliche Zahl vonk Warteplätzen eine Lösung hergeleitet, mit der man die WahrscheinlichkeitenP _ij für die Zustände des Systems außerordentlich einfach rekursiv berechnen kann. Für die wichtigsten Kenngrößen (Ausnutzungsgrad, Zahl der Einheiten im System, Länge der Warteschlange) des Gesamtsystems und der TeilsystemeA undB werden einfache Formeln angegeben. Schließlich wird die Lösung auf den Fallk → ∞ ausgedehnt. In dem Falle besteht zwischen den Parametern λ, μ₁ und μ₂ eine einschränkende Bedingung.

Introduction and summary

A system of two service stationsA andB arranged in series is considered. The arrival and service time distributions are assumed to be exponential with arrival rate λ and (different) service rates (μ₁, μ₂) for the two stationsA andB. A queue of at mostk waiting customers is allowed between the two stations. If stationA is occupied arriving units cannot enter the system and go elsewhere. Special cases with μ₁=μ₂ andk=0 andk=1 have been treated e.g. byMorse.²) For queues of finite lengthk a solution is obtained which allows the state probabilitiesP _ij to be determined recursively in an extremely simple manner. For the more important characteristics (utilization rate, number of units in the system, length of queue) of the whole system as well as of the two separate stationsA andB simple formulas are derived. Finally, the solution is extended to cover the casek → ∞. Under these circumstances it is shown that the parameters λ, μ₁ and μ₂ cannot be varied completely independently of one another.