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References
Math. Annalen, Bd. 59, p. 514.
Math. Annalen, Bd. 59, p. 516. „Dieses logische Prinzip läßt sich zwar nicht auf ein noch einfacheres zurüchkführen —”.
Math. Annalen, Bd. 60, p. 194; vergl. aber auch Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue „Cinq lettres sur la théorie des ensembles”, Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 83, p. 261.
Rivista di Matematica VIII, Nr. 5, p.145 ff.
„Formulaire de Mathématiques publié par la Revue de Mathématiques” Tome II, Turin 1897.
Rivista di Matematica VIII, Nr. 5, p. 147.
ibid. Rivista di Matematica VIII, Nr. 5 p., 145–147. Übrigens gelingt dieser Beweis nur durch „vollständige Induktion”, ist also nur bindend, wenn man die endlichen Zahlen in Peanoscher Weise durch ihren Ordnungstypus definiert. Legt man dagegen die Dedekindsche Definition der endlichen Menge als einer solchen, welche keinem ihrer Teile äquivalent ist, zugrunde, so ist ein Beweis auch für endliche Mengen unmöglich, da die Zurückführung der beiden Definitionen aufeinander, wie wir unten (Beispiel 4) zeigen werden, wieder das Auswahlprinzip erfordert. In diesem Sinne ist also Poincarés Bemerkung (Revue de Métaphysique et de Morale 14, p. 313) gerechtfertigt.
Rivista di Matematica VIII, Nr. 5, p. 147.
Daß hier ein besonderes Schlußprinzip zugrunde liegt, wurde anläßlich eines Bernsteinschen Beweises wohl zuerst von Herrn Beppo Levi ausgesprochen (Lomb. Ist. Rend. (2) 35, 1902, p. 863). Nach Herrn F. Bernstein (Math. Annalen Bd. 60, p. 193) soll allerdings in allen ähnlichen Fällen, z. B. auch in meinem Beweise, die „Hypothese” der möglichen Auswahl „entbehrlich” sein, wenn man den von ihm eingeführten Begriff der „vielwertigen Äquivalenz” benutzt., Zwei MengenM, N sollen (Gött. Nachr. Math. Phys. 1904, Heft 6), „vielwertig äquivalent” heißen, wenn für sie statt einer einzigen eine ganze Menge A von ein-eindeutigen Abbildungen φ, χ, Φ, ... gegeben ist, „unter denen keine ansgezeichnet ist”. Hier wird also ein reiner Beziehungsbegriff wie „ausgezeichnet” ohne ergänzende Bestimmung oder Erklärung wie ein absolutes Merkmal verwendet, und die versuchte Unterscheidung von der gewöhulichen Äquivalenz ist logisch nicht durch führbar. In den betrachteten Beispielen handelt es sich aber auch gar nicht um die „Multiplizität”, d. h. um dieMächtigkeit der Abbildungsmenge A, sonder lediglich um die Frage, obmindestens eine solche Abbildung φ existiert, eine Frage, die hier durch keine Definition umgangen sondern nur durch ein Axion entschieden werden kann.
„Was sind und was sollen die Zahlen?” Nr. 159.
Diese vielfach übersehene Tatsache wird auch von Herrn G. Hessenberg im Vorworte seiner „Grundbegriffe der Mengenlehre” (Göttingen 1906) ausdrücklich anerkannt.
Math. Annalen, Bd. 60, p. 459.
„Les mathématiques et la logique”, Revue de Métaphysique et de Morale t. 13; t. 14, p. 17, p. 294, p. 866.
ibid. „Les mathématiques et la logique”, Revue de Métaphysique et de Morale t. 13; 14, p. 311–313: „C'est donc un jugement synthétique a priori sans lequel la théorie cardinale serait impossible, aussi bien pour les nombres finis que pour les nombres infinis.”
ibid. „Les mathématiques et la logique”, Revue de Métaphysique et de Morale t. 13; 14, p. 316: „Il n'y a pas d'infini actuel; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction.”
„Was sind und was sollen die Zahlen?” §4.
Rev. d. Mét. e. d. Mor. 14, p. 307.
ibid. Rev. d. Mét. e. d. Mor. 14. p. 314 und 315.
„The Principles of Mathematics”, vol. I (Cambridge 1903), p. 366–368. Indessen hatte ich selbst diese Antinomie unabhängig von Russell gefunden und sie schon vor 1903 u. a. Herrn Prof. Hilbert mitgeteilt.
Bericht des Ill. Internationalen Mathematiker-Kongresses zu Heidelberg, 1904, p. 144: Zum Kontinuum-Problem.
Math. Annalen Bd. 60, p. 177, Bd. 61, p. 156. Über die „Antinomie Richard”, die Herr König in dem letzten Artikel hier heranzuziehen versucht, vergl. G. Peano, Riv. d. Mat. VIII, Nr. 5, p. 148–157, sowie namentlich G. Hessenberg, ”Grundbegriffe der Mengenlehre” XXIII („Die Paradoxie der endlichen Bezeichnung”), wo der vorliegende Fehlschluß m. Er. treffend aufgedeckt wird. Der Begriff „endlich definierbar” ist kein absoluter sondern ein Relativbegriff und bezieht sich immer auf die gewählte „Sprache” oder „Bezeichnungsweise”. Der Schluß, daß alle endlich definierbaren Gegenstände abzählbar sein müssen, gilt aber nur, wenn für alle ein und dasselbe Zeichensystem verwendet werden soll, und die Frage, ob ein einzelnes Individuum überhaupt einer endlichen Bezeichnung fähig ist oder nicht, ist an und für sich gegenstandslos, da man jedem Dinge nötigenfalls willkürlich eine beliebige Bezeichnung zuordnen kann. Übrigens hat die Wohlordnung des Kontinuums mit dieser Antinomie im Grunde nicht viel mehr zu tun wie jeder andere Satz, den man unter Benutzung eines Widerspruches gleich gut beweisen und widerlegen kann. In der Tat hat auch Herr F. Bernstein mit Hilfe der endlichen Definierbarkeit einmal beweisen wollen (Deutsche Math.-Vereinigung 1905, p. 447), daß das Kontinuum der zweiten Zahlenklasse, also einer wohlgeordneten Menge, äquivalent sein müsse; er ist sonach von demselben Begriffe ausgehend zu dem entgegengesetzten Resultate gelangt wie Herr König. Die versprochene Ausführung dieses „Beweises” ist allerdings niemals erschienen.
Math. Annalen Bd. 60, p. 465. In den von ihm zitierten früheren Arbeiten (Phil. Mag. 1904, p. 61, p. 294: 1905, p. 42), auf die er seine Prioritätsansprüche stützt, ist dagegen von einer möglichen Wohlordnung überhaupt nicht die Rede. Vielmehr beschränkt sich in dem ersten dieser Artikel sein „Beweis, daß jede Kardinalzahl ein Aleph ist”, lediglich auf einen Versuch, die Möglichkeit von Mächtigkeiten größer als alle Alephs durch den Hinweis auf die „Burali-Fortische Antinomie” auszuschließen. Hier wird alsoohne Beweis vorausgesetzt, daß eine Menge, deren Kardinalzahl selbst kein Aleph ist, einen der Gesamtheit aller Alephs ähnlichen Bestandteil enthalten müßte; und der bloße Hinweis auf die Methoden und Resultate von Cantor und Hardy, welche sich auf die beiden ersten Mächtigkeiten beziehen, kann diesen Beweis doch unmöglich ersetzen.
l. c. Math Annalen Bd. 60, p. 468.
Math. Annalen Bd. 60, p. 194.
Math. Annalen Bd. 60, p. 187.
a. a. O. Math. Annalen Bd. 60, p. 189. Nur habe iche durch β ersetzt und einige Worte durch den Druck hervorgehoben.
Math. Annalen Bd. 60, p. 181.
G. Cantor, Math. Annalen Bd. 49, p. 207.
Math. Annalen Bd. 49, p. 221.
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Zermelo, E. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Math. Ann. 65, 107–128 (1907). https://doi.org/10.1007/BF01450054
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01450054