Large deflections of point loaded cantilevers with nonlinear behaviour

Summary

Thin beams, being flexible, form a curve with large deflections when subjected to sufficiently large transverse loads. Therefore, geometrical nonlinearity occurs, and the problem must be formulated in terms of the nonlinear theory of bending. In this paper, the beam is constructed from nonlinear elastic material, and subjected to several transverse concentrated loads. Due to the large deflection of the beam, the exact expression of the curvature of the deflected shape is used in the Bernoulli-Euler relationship. Therefore, this leads to a second order nonlinear differential equation for the transverse deflection. The solution of this equation is obtained by using the fourth-order Runge-Kutta method, and the arc length is evaluated using Simpson's Rule. The results obtained from this procedure are compared with previously published results for thin beams of linear elastic materials in order to verify the theory and the method of analysis.

Zusammenfassung

Dünne, flexible Träger formen eine stark gekrümmte Kurve, wenn sie genügend großen Querkräften ausgesetzt sind. Deshalb tritt geometrische Nichtlinearität auf, und das Problem muß mit Hilfe nichtlinearer Biegetheorie formuliert werden. Dieser Aufsatz handelt von einem Träger aus einem nichtlinearen, elastischen Material, der mehreren konzentrierten Querkräften ausgesetzt ist. Wegen der großen Durchbiegung des Trägers wird der exakte Ausdruck für dessen Krümmung in dem Euler-Bernoullischen Gesetz benutzt. Dies führt daher zu einer nicht-linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Durchbiegung. Die Lösung dieser Gleichung erhält man, indem man die Runge-Kutta Methode vierter Ordnung benutzt; die Bogenlänge wird mit Simpsons Regel bestimmt. Die auf diese Weise erhaltenen Resultate werden mit bereits veröffentlichten Resultaten für dünne Träger aus linearen, elastischen Materialien verglichen, um die Theorie und Berechnungsmethode zu prüfen.